Wie kann ich mithilfe der H-Methode (Differentialquotient) die Ableitung bestimmen?

Ich hab alles versucht, bekomme leider nicht die Lösung:/

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

wenn Du Summen oder Differenzen mit Wurzeltermen siehst, sollte vor Deinem inneren Auge sofort die dritte binomische Formel aufblinken, also (a+b)*(a-b)=a²-b².

Wenn a und b Wurzelterme sind, kannst Du die Wurzeln dadurch wie von Zauberhand verschwinden lassen.

Bilde zunächst den Differenzenquotienten (f(x+h)-f(x))/h:

[1/√(1-(x+h))-1/√(1-x)]/h.

Bringe dann die eckige Klammer auf einen Nenner, dann kannst Du das h direkt als Faktor vor den Nenner des neuen Bruchs setzen:

[√(1-x)-√(1-(x+h))]/[h*√(1-(x+h))*√(1-x)].

Nun wirst Du die Wurzeln im Zähler durch Erweiterung mit √(1-x)+√(1-x+h) los:
1-x-(1-(x+h))=1-x-(1-x+h)=1-x-1+x+h=h.

Es bleibt im Zähler tatsächlich nur h übrig, das Du gegen das h im Nenner kürzt.

Übrigbleibt 1/[√(1-(x+h))*√(1-x)*(√(1-x)+√(1-x+h))].

Nun aber ist es kein Problem mehr, h gegen Null gehen zu lassen:

1/[√(1-x)*√(1-x)*(√(1-x)+√(1-x))]=1/[(1-x)*(√(1-x)+√(1-x))]=1/[√(1-x)³+√(1-x)³]=
1/[2*√(1-x)³].

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[MrPenguin841]

Vielen Dank Willy, hast mir sehr geholfen:)

[Willy1729]

@MrPenguin841

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Answer 2

[Felix751]

$f'\left(x\right)=\lim_{\ h\to0\ }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

ist die grundlegende Formel. Wir setzen nun ganz allgemein die Ausdrücke der Funktion ein:

$f'\left(x\right)=\lim_{\ h\to0\ }\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x-h}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{h}$

Es gilt nun, den Ausdruck so umzuformen, dass eine sinnvolle Grenzwertbetrachtung gemacht werden kann. Als Vergleich, hier das Ergebnis:

$f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{\left(1-x\right)^3}}$ Es ist aber unwahrscheinlich anstrengend das Ganze mit der h-Methode zu machen... Nicht zu empfehlen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Polyvalentes Mathe - und Physikstudium an der Uni Freiburg