Nutzen der h-methode?
Hi, ich soll für meine Mathematik Nachprüfung unter anderem lernen was die h-Methode ist und wozu sie gut ist. Nun habe ich mehrere Videos gesehen und einiges gelesen und bin verwirrt. In allen Beispielen die ich gesehen habe war der einzige Zweck der h-Methode das annäherungsweise bestimmen der Änderungsrate an einem bestimmten Punkt einer Funktion. Allerdings war das Ergebnis immer die erste Ableitung der Funktion, was zwar Sinn ergibt da wie ich zu wissen glaube die Änderungsrate in einem Punkt genau bestimmt werden kann, indem besagten Punkt x in die erste Ableitung einsetzt. Nun zu meiner eigentlichen Frage: Verliert mit der viel einfacheren Methode der Bestimmung des Änderungsquotienten in einem Punkt, der Ableitung, die h-Methode bis auf eventuelle Herleitungszwecke nicht ihren sinn sobald man über Ableitungen bescheid weiß oder führt die h-Methode nicht bei jeder Funktion zur ersten Ableitung bzw. hat die h-Methode noch einen anderen Zweck als die Bestimmung der Änderungsrate eines bestimmten Punktes in einer Funktion?
7 Antworten
Hallo,
Zu deiner letzten Frage...die Formulierung ist unpassend.
Sobald man über die Ableitungsregeln bescheid weiß
Die h-Methode ist eine Formel mit der man (mithilfe des Grenzwertes?) die Ableitung der Funktion f(x) bestimmen kann. Die Formel für die Produktregel zum Beispiel Leitet sich aus der h-Methode her. Und genau DAS ist das Problem vieler Schüler.
Viele Schüler lernen die Formeln einfach auswendig, wissen eventuell noch, wann man sie anwendet und verstehen dann nicht, woher sie kommt. Und das spiegelt deine Frage wieder. In der ersten Arbeit, wo die Ableitungsregeln zum Einsatz kommen, steht meist drüber, dass die h-Methode zu verwenden ist, sofern du die normalen Ableitungsregeln nicht beweisen kannst. Kann man aber mit der h-Methode:
f(x) = x^n
f'(x) = ?
f'(x) = (f(x+h)-f(x))/h
= lim h-> 0 (f(x+h)^n -x^n)/h
= lim h-> 0 (x^n +nx^(n-1)+h^2(...))/h
= lim h-> 0 (nx^(n-1)+h^2(...))/h
= nx^(n-1)
Vielleicht schwierig zu verstehen, aber ich versuche mal, Schritt 2 an (x+1)^3 zu verdeutlichen. Wenn du die Klammer jetzt ausmultiplizierst, dann erhältst du
x^3... soweit erstmal klar? also das erste Glied wird einfach n-mal potenziert (hier n=3). Darauf folgt der Term +3x^2. Also steht das n jetzt als Faktor vor dem x und n hat sich um Eines verringert. Das ist allgemein nx^(n-1). Die Terme darauf erhalten immer mindestens den zweiten Term ins Quadrat. Da man bei der allgemeinen Form nicht weiß, welchen Wert n hat, schreibt man einfach h^2(...), da in der Beweisführung der zweite Summand das h ist. Nun streichen wir den Term x^n, da das x^n ja (aufgrund des Verwendens der h-Methode) wieder abgezogen wird. Und da ja h gegen Null läuft, fallen alle Terme, die h enthalten, weg. Heißt hier, es bleibt nur noch nx^(n-1) stehen.
Das ist die übliche Ableitungsregel von Polynomfunktionen. Ich wollte nur demonsteieren, dass die h-Methode sehr wohl einen Sinn hat. Hoffentlich hast du verstanden, was ich mit dem Beweis andeuten wollte. Häufig wird nur gelernt und - wie oben erwähnt - der Hintergrund nicht verstanden.
FataMorgana2010 brachte das Beispiel mit der quadratischen Ergänzung und der PQ-Formel, das hatten wir auch so. Danach haben wir mit der pq-Formel auch den Satz des Vieta bewiesen. Ebenso bei der Satzgruppe des Pythagoras, hält entsprechend. Unser Mathelehrer bringt uns nämlich noch bei, wie wir die Formeln herleiten. Das machen heutzutage leider die wenigsten.
Ich hoffe ich konnte etwas helfen. Ich hoffe, dass ich in die Beweisführung keinen Fehler eingebaut hab, ich habe sie nämlich nicht aus dem Internet und komme erst in die zehnte Klasse.
Lg ShD
Ganz richtig ist deine Herleitung nicht - du hast beim Summanden
nx^(n-1) den Faktor h vergessen. Durch den teilst du dann ja im letzten Schritt - der muss also auch da sein.
Richtig wäre
f'(x) = (f(x+h)-f(x))/h
= lim h-> 0 (f(x+h)^n -x^n)/h
= lim h-> 0 (x^n +h nx^(n-1)+h^2(...))/h
= lim h-> 0 (h nx^(n-1)+h^2(...))/h
= nx^(n-1)
Sonst klappt der Schritt am Ende nicht.
Keine Ahnung. Tut mir leid dann lasse ich das halt in Zukunft...ich hab das eigentlich dazu geschrieben, weil ich mich damit rechtfertigen wollte, dass in meiner Rechnung Fehler sind...
Diese Überlegung, den Faktor h vor das nx^(n-1) zu schreiben, ha tte ich auch, aber da ja h gegen Null läuft und ein Nullprodukt null ergibt, hab ich das irgendwie weg gelassen. Danke für die Ergänzung...
Aber mit der gleichen Begründung könntest du den Faktor h² etc. auch weg lassen. Und dann hast du immer noch das h im Nenner stehen. Nein, das ist ein grober Schnitzer, das schon so früh wegzulassen.
Denn das ist ja gerade der Witz: Der Summand mit dem x^n fällt einfach weg (weil man genau das ja abzieht) und alle anderen Summanden haben den Faktor h, durch den kann ich kürzen. Dann und erst dann hat der Summand nx^(n-1) keinen Faktor h mehr - aber alle anderen haben noch einen. Wenn h dann gegen Null geht, dann verschwinden alle Summanden mit h, nur nx^(n-1) bleibt.
Wenn du schon vorher das h einfach weglässt, dann machst du nicht nur einen Denkfehler (warum sollte man das dürfen? Der Grenzübergang war doch noch gar nicht...), sondern du hättest dann immer noch ein h im Nenner. Da darfst du dann keinen Grenzübergang gegen Null machen, weil du ja nicht durch Null dividieren darfst.
Es gibt in der Mathematik immer mehrere Sichtweisen (großspurig oft "Methode" genannt) eines Sachverhaltes. Genau so umständlich wie die h-"Methode" ist dazu der "Mittelwert-Satz" mit Grenzwertberechnung, wo die Sehne zur Tangente in einem Punkt verschoben wird, statt gleich mit der einfacheren Ableitung zu arbeiten.
Ist doch egal, wer das "Ei" einmal gefunden hat (Quelle), wenn die Ableitungsregeln besser begreifbar sind und vielleicht einfacher durchführbar!
Ist doch egal, wer das "Ei" einmal gefunden hat (Quelle),
Das illustriert sehr schön dein mangelndes Verständnis. Die Frage (Und wo kommt die "einfachere Ableitung" her?) bezieht sich doch garnicht auf Quelle & "Erfinder". Die Frage ist, wie man denn auf die "einfachere Ableitung" (sprich: die Ableitungsregeln) kommt und wie man sie beweist. Und man findet & beweist sie mittels der "h-Methode".
Die "h-Methode" ist keine Methode zum praktischen Rechnen (außer gelegentlich in Sonderfällen), sondern dient zur Herleitung der Ableitungsregeln. Wer nicht nur "Rezepte" auswendig lernen will, sondern verstehen will, warum die Regeln funktionieren und wie man solche Regeln überhaupt entdecken kann, der muss sich die "h-Methode" (oder etwas ähnliches) anschauen.
Wie begreife ich denn eine Regel, wenn ich nicht verstehe, wie sie zustande kommt? Natürlich kann ich lernen und durchführen, dass die Ableitung von x³ gerade 3x² ist. Aber begreifen kann ich das doch nur, wenn ich das wenigstens einmal für mich herleite.
Ich weiß nur, dass die h-Methode besser ist als die mit x1 und x2 (sorry, hab grad keine Ahung wie die heißt), weil man bei der x1/x2 Methode in bestimmten Fällen sehr umständlich zu lösen ist, oder auch gar nicht. Ich meine zumindest, dass es so war :D
die h-Methode bis auf eventuelle Herleitungszwecke nicht ihren sinn sobald man über Ableitungen bescheid weiß
Wodurch weiß man denn über Ableitungen bescheid? Durch göttliche Offenbarung? Wohl kaum. Die h-Methode dient dazu, die Ableitungsregeln zu beweisen.
Wenn du nur "Rezepte" auswendig lernen willst, ohne zu verstehen, was du da tust, woher diese "Rezepte" kommen und wieso sie funktionieren, dann allerdings kannst du h-Methode auch weglassen.
Bin erst in der 7. Klasse und kenne die h-Methode daher nicht. Aber vielleicht hilft dir diese Tipp von SosoHatsdrauf:
Bei allem Verständnis: Aber hat es einen Grund, warum du jedesmal dazu schreibst, in welcher Klasse du "erst" bist? Welchen Informationsgehalt hat das?