Frage von DieChemikerinUsermod Junior, 82

Wie kann ich das Thema "Extremwertaufgaben" endlich verstehen?

Guten Tag,

ich bin im Leistungskurs Mathematik und bald (zwar erst am 20.11., aber dennoch) meine zweite Klausur.
Ich verstehe so ziemlich alles in Mathe, aber das Thema bereitet mir - weiß Gott warum - extreme Schwierigkeiten. Das Schema kenne ich:

a) Hauptbedingung aufstellen => muss maximal werden
b) Nebenbedingung aufstellen und ggf. nach einer Variablen umformen
c) NB in HB einsetzen und vereinfachen => Zielfunktion
d) Zielfunktion (nur noch von einer Variablen abhängig) ableiten
e) Extrema bestimmen, durch VZW oder zweite Ableitung schauen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
f) Den erhaltenen Wert in die Nebenbedingung einsetzen und den zweiten Wert bestimmen
g) Die Extremstelle in die Zielfunktion einsetzen

So, das ist soweit logisch. Aber ich habe oft schon bei den einfachsten Sachen Probleme mit der Anwendung. Ich übe es schon die Ferien durch, habe im Buch gerechnet - gebracht hat das nichts. Meine Mathelehrerin hat mir das sehr oft erklärt und viele, viele andere Leute auch! Denkt ihr, das hat was gebracht? Pustekuchen!

Habt ihr Tipps, wie ich diese Aufgaben lösen kann? Es kommt definitiv in der Klausur dran...

Danke im Voraus für eure Hilfe.

LG ShD

Antwort
von Wechselfreund, 54

Du hast die Vorgehensweise Super beschrieben! (Hauptbedingung, heißt bei mir Zielfunktion, soll u.U. auch mal minimal werden. Das prüft man dann, wenn man das vermeintliche Extremum hat.) Probleme kann es bei der Nebenbedingung geben (wenn da z.B. Strahlensätze benutzt werden, die man vorher gar nicht durchgenommen hat. Oft hilft auch die Formelsammlung weiter). Außerdem sollte man sich beim Einsetzen der Variablen für die in der Nebenbedingung entscheiden, wo das Auflösen dahin einfacher geht. In einem LK sollte man dann auf jeden Fall den Definitionsbereich angeben und ggf. auf Randextrema untersuchen (die findet man ja nicht über waagerechte Tangente)

Ich finde, solche Aufgaben sind super, weil sie zeigen, wozu Extremstellenbestimmung benutzt werden kann (nicht so wie diese blödsinnigen Aufgaben aus den Kultusministerien, wo z. B. das Wachstum einer Pflanze über einene Teil einer ganzrationelen Funktion gegeben ist.)

Schreib vielleicht nochmal ein Beispiel für eine Aufgabe auf, bei der du Probleme hast.

Kommentar von fjf100 ,

Hast du auch eine Aufgabensammlung mit durchgerechneten Lösungen,damit man üben kann ?

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 36

Das Problem ist,dass du die Theorie kennst,aber keine Übung hast,wie man solche Aufgaben angeht.

TIPP : Leg dir eine Aufgabensammlung an ,mit durchgerechneten Aufgaben.

Ein Aufgabentyp ist die Berechnung eines Rechtecks,dass eine maximale Fläche unter der Kurve f(x) haben soll.

beispeil : f(x)=-0,2 *x^2 +4 Fläche des Rechtecks Ar= f(x) * x

eingesetzt Ar= - 0,2 *x^2 + 4) *x ergint f(x) =-0,2 * x^3 + 4 *x

abgeleitet A´r= -,06 *x^2 + 4 Nullstellen bei  x1= - 2,582 und x2= 2,582

eingesetzt in f(x) ergibt f(x)= -0,2 * 2,582^^2 + 4 = 2,666...

Also Ar = 2,666 * 2 * 2,582= 13,767 FE

HINWEIS : Ar=f(x) * x funktioniert nur ,wenn f(x) symetrisch zur y-Achse liegt und der maximalwert von y auch auf der y-Achse liegt.

TIPP : Versuch mal die selbe Aufgabe zu lösen wenn f(x)= -0,2 *(x-3)^2 + 4

Hier ist die Funktion nach rechts verschoben und y max liegt nicht auf der Y-Achse.

Die Formel Ar= f(x) * x funktioniert auch bei anderen Funktionen.probier´s aus !

Nun kannst du wenigstens diesen Typ Aufgabe rechnen.

Kommentar von DieChemikerin ,

Hi,

na ja, wenn du mir das schon komplett vorgibst...den "Tipp" hättest du mir nicht mal geben brauchen. Also ich bin jedenfalls noch in der Lage dazu, zu erkennen, dass die Parabel in der Scheitelunktform vorliegt :D

Also ist die HB: A(x,y) = x*y

die NB hast du mir ja netterweise angegeben: f(x)= -0,2 *(x-3)^2 + 4

Einsetzen:

A(x) = x*(-0,2 *(x-3)^2 + 4)

= x*(-0,2x² +1,2x -1,8+4)

= x*(-0,2x² +1,2x +2,2)

= -0,2x³ +1,2x² +2,2x

Ableiten:

A'(x) = -0,6x² +2,4x +2,2

Mit Null gleichsetzen:

-0,6x² +2,4x +2,2 = 0

x² -0,4x - 11/3 = 0

PQ-Formel:

x1,2 = 0,2 +- 1,9

x1 = -1,7; x2 = 2,1

Zweite Ableitung bilden:

A''(x) = -1,2x +2,4

Ich rechne lieber nicht weiter. Ich hab den Graphen in den Funktionsplotter eingegeben. Meine Rechnung ist falsch. Wir belassen es dabei, dass ich die Klausur nicht schaffen werde. Okay?

Kommentar von Wechselfreund ,

Sie dir die Zeile über "PQ-Formel" an! Der Fehler hat nichts mit Extremwertaufgaben zu tun und wäre dir in anderem Zusammenhang auch nicht passiert! Du entwickelst eine Extremwertaufgabenphobie ;) Bleib locker!

Kommentar von fjf100 ,

Es gibt verschieden Typen von Extremwertaufgaben.Diese sind Extremwertaufagben  mit Nebenbedingungen.

Beispiel A=a *b Fläche einen Rechtecks

U= 2 *a +2*,b meistens ist U gegeben

man hat also 2 Unbekannte a u. b und 2 Gleichungen.

Also ist die Aufgabe lösbar.man erhält aus den 2 Gleichungen eine Gleichung mit einer unabhängigen Variable.

Die Ermittlung des Maximums oder Minimums ist dann nur noch eine normale Kurvendiskussion.

PROBLEM : Man muss die dazugehörigen Nebenbedingungen kennen.Kennt man diese nicht,dann ist die Aufgabe nicht lösbar und man braucht Hilfe ,von jemanden,der diese Aufgabe schon gerechnet hat.

Kommentar von Wechselfreund ,

Dadurch, dass der Scheitelpunkt verschoben ist, wird die Zielfunktion komplizierter! Mach dir mal ne Skizze!

Kommentar von fjf100 ,

Also.dass ist die falsche Einstellung.

Stell dir vor du hast 20 oder mehr von solchen Aufgaben gerechnet,dann wird garantiert in der Klausur einer dieser Aufgaben vorkommen.

Du erinnerst dich dann an diese Aufgabe und der Rest ist für dich dann nur eine Wiederholung.

MERKE : Übung macht den Meister !! Dies bedeutet:Üben ,üben und nochmals üben,bis zur Vergasung.

Mein eigener Fall :Man hat mich in der Grundschule als lernbehindert eingestuft. Ich habe dann aber an der Fachhochschule Dortmund Maschinenbau studiert.Wenn so einer wie ich solche Aufgaben rechnen kann,dann kannst du das auch !!

TIPP : Aufgaben,die du nicht lösen kannst,lass diese dir von jemanden vorrechnen,der diese Aufgaben schon gerechnet hat.

Das spart Zeit und kostet nur 1 bis 2 Euro pro Aufgabe.Solch ein Spezialist rechnet eine Aufgabe dir in 10 Minuten vor. 

Antwort
von ThomasAral, 79

Allgemein betrachtet sind Extremwertaufgaben auch für Computer extrem schwer lösbar (lange). Man behilft sich da dann Evolutorischer Lösungsmöglichkeiten. Im Matheunterricht werden aber normal einfache Fälle euch vorgesetzt, die man ohne Computer einfach mit z.B. 2 Variablen lösen kann. Das geht dann meist nach "Schema F". Also einfach vorhandene Aufgaben öfter machen, dann kommst auch ganz schnell auf die Lösung von neuen Aufgaben.  Kannst du dir unter den Gleicungen nicht bildlisch was vorstellen ohne es zu zeichnen, dann mach halt eine hilfsskizze für dich auf Papier.

Kommentar von DieChemikerin ,

Das geht eben nicht nach Schema F! Normalerweise kriege ich auch Aufgaben hin, die nicht nach Schema F gehen und bei denen etwas Hirnschmalz gefragt ist. Meine Freundin im GK kommt immer zu mir, wenn sie in Mathe Probleme hat und da war neulich eine echt fiese Aufgabe (nicht Extremwerte). Die ging mir auch locker-flockig von der Hand. Das ist das einzige Thema, mit dem ich Probleme habe - selbst Folgen habe ich dann irgendwann kapiert!

Hilfsskizzen sind meist schon gegeben, ich bin allerdings oft zu dämlich, daraus die richtige Nebenbedingung abzuleiten (Hauptbedingung klappt meist noch irgendwie). Einfacher fällt es mir, wenn es um irgendwas mit einer Funktion geht, weil dann ja eine Funktion bereits vorhanden ist.

Ich habe generell mit dem Aufgabentyp Probleme. Ich weiß nicht, ob ich dahingehend zu sehr "abblocke", weil es für mich sehr ungewohnt ist, in Mathe etwas nicht zu verstehen. Deshalb ärgert mich das ja so.

Ich habe schon die Aufgaben im Buch durchgerechnet, nur einen winzigen Prozentsatz habe ich selbst hingekriegt und einen noch kleineren Prozentsatz hatte ich richtig... :(

Kommentar von ThomasAral ,

schreib halt mal konkret eine hier her, die du nicht kannst --- vielleich komm ich dann drauf was du genau nicht verstehst

Antwort
von DoktorWurst, 82

Wo genau kommst du denn nicht klar? Beim Aufstellen der Haupt- und Nebenbedingung - also dein a) und b) - oder beim d) Ableiten? (Ich nehme mal an, Gleichungen umformen und Werte einsetzen klappt.)

Kommentar von DieChemikerin ,

Vor allem bei a und b...ich gebe dir mal eine Beispielaufgabe aus meinem Buch:

http://www.directupload.net/file/d/4156/lwl3hq7a_jpg.htm

So. ich habe das so gemacht:

V(a,b,c) = a*b*c

a = x; b = 42-2x; c = 30-2x

Einsetzen:

V(x) = x*(30-2x)*(42-2x)

= 4x³ -144x² +1260x

Ableiten:

V'(x) = 12x² -288x +1260

Mit Null gleichsetzen:

12x² -288x +1260 = 0

x² -24x +105 = 0

pq-Formel ergibt:

x1,2 = 12 +- Wurzel (39)...

Das kann aber nicht sein! Schau, ich kriege das nicht hin :((

Kommentar von nutzer131 ,

Ich habe bis jetzt noch keinen Fehler gefunden. Warum meinst du dass das nicht sein kann?

Kommentar von DoktorWurst ,

Warum kann das nicht sein? Die Rechnung ist korrekt. Du musst nur noch entscheiden, welcher x-Wert von beiden es ist, z.B. in dem du beide Werte in die 2. Ableitung einsetzt und dir das VZ anschaust.

Kommentar von Willy1729 ,

Dann nimm doch 12-Wurzel (39)=5,755. Quadratische Gleichungen haben doch meist zwei Lösungen. Die andere paßt nicht, weil 2x>30. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von DieChemikerin ,

Ach so, ich dachte weil so etwas Krummes unter der Wurzel steht...

Danke euch für die Richtugstellung

Antwort
von UlrichNagel, 44

Laß doch einfach mal die Begriffe Haupt- und Nebenbedingungen weg und sage dafür, was es ist: 2 Funktionen, ein Funktionssystem, was du mit dem Einsetzungsverfahren löst. Ist das verständlicher? Die Extreme bestimmen beherrschst du ja.

Antwort
von Kuhlmann26, 30

Vielleicht, in dem Du Dir solche oder ähnliche Videos anschaust.

Gruß Matti

Kommentar von Kuhlmann26 ,

Wenn Dir der Typ zu kandiedelt quatscht, gibts hier noch jemanden mit "normaler" Sprache.

www.youtube.com/watch?v=Fp6l8QN4MbU

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