Wie geht man bei diesem Beispiel vor (Beweise, Mathematik)?
Hallo alle zusammen!
Ich hätte da mal eine Frage und zwar weiß ich nicht wie man bei diesem Beispiel vorgehen soll. Könnte mir jemand erklären was ich da machen muss?
Am besten wäre es wenn mir das jemand anhand des Beispieles a) erklären kann!
1 Antwort
Für Aufgabe 2a Teil I ist zu zeigen, dass aus |a| < |b| folgt a^2 < b^2. Wenn dies zuerst bewiesen wird, ist die Umkehrung leichter zu beweisen.
Als weitere Voraussetzung wird verwendet, dass x^2 = |x|^2 für jedes x aus |R. Ich nehme an, dass dies nicht extra bewiesen werden muß.
Teil I a: Die Voraussetzung ist also |a| < |b|:
Für |b| = 0 ist die Voraussetzung nicht erfüllbar.,
Für |a| = 0 ist nach Voraussetzung 0 = |a| < |b| und so folgt hiermit auch 0 < |b|^2 und somit |a|^2 = 0 < |b|^2 und somit auch a^2 < b^2
Teil I b: Es sei nun a <> 0 und b <> 0
|a| < |b| Durch Multiplikation dieser Ungleichung mit |a| und |b| ergibt sich dann die Ungleichungskette |a| * |a| < |a| * |b| < |b| * |b| und somit |a|^2 < |b|^2 und somit auch a^2 < b^2.
Teil 2: Nun sei die Voraussetzung a^2 < b^2
Wir machen die Annahme, dass daraus |a| = b| folgen würde. Da aber aus dieser Annahme a^2 = b^2 folgt, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung und deshalb kann diese Annahme nicht richtig sein.
Analog zeigt man, dass mit der Annahme |a| > b| ebenfalls (wie im Tiel I ) ein Widerspruch zur Voraussetzung hergeleitet werden kann.
Daraus folgt, dass aus der Voraussetzung a^2 < b^2 nur das logische Gegenteil der beiden Annahmen nämlich |a| < |b| wahr sein kann.