Wie geht die Quadratische Ergänzung?
Hallo!
kann mit bitte wer zeigen, wie die Quadratische Ergänzung geht und dann dies noch in eine Binomische Formel umwandeln. Aufgabe 5 wäre es.
lg
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6 Antworten
wie geht es ? so einfach wie in den anderen antworten beschrieben, geht es bei d , e und f nicht.
bei p² + 8p gehts so : die 8 vor dem p halbieren und diese 4 zum Quadrat dahinterschreiben
( p + 4 ) ² = p² + 8p + 16
aber achtung
bei 25x² - 20xy
muß man die 20 halbieren und zusätzlich noch durch die wurzel aus 25 teilen
macht - 20 / 2 = 10 und - 10/5 = - 2 und das y beachten !
( 5x - 2y) ² = 25 x² - 20xy + 4y²
Für die Quadratische Ergänzung brauchst du die Stichwörter
Halbieren - Quadrieren - Ergänzen
Gewöhnlich braucht man es, wenn vorne ein x² steht, aber es funktioniert auch mit anderen Variablen.
x² + 8x + ?
Du halbierst die Zahl vor dem x ...................... 4
Du quadrierst diese Zahl ................................ 4² = 16 ........... Die 4 ist wichtig!
Du ergänzt +4² in deinem Term, machst eine Klammer drum herum
und subtrahierst den gleichen Wert hinter der Klammer. Es soll ja alles gleich bleiben!
(x² + 8x + 4²) - 16
Warum lässt man am besten 4² so stehen?
Der nächste Schritt ist die Bildung des Binoms. Und da brauchst du die 4.
Du benötigst auch nicht mehr als das x und die 4.
(x + 4)² - 16
Das Rechenzeichen richtet sich nach dem Mittelglied. Daher bei Minus:
x² - 12x + ?
Dies ist die Lösung (wieder mit Halbieren - Quadrieren - Ergänzen):
(x² - 12x + 6²) - 16 = (x - 6)² - 36
Versuch erst mal, das zu verstehen.
Wenn du es hast, erkläre ich dir, was passiert, wenn vor dem x² noch eine Zahl steht.
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Direkt darunter steht doch schon ein Beispiel. Einfach mal etwas weiter schauen. ;)
Bei a) müsste man zum Beispiel +2² -2² ergänzen.
binomische Formel (x+b)^2=x^2+2*b*x+b^2
(x-b)^2=x^2-2*b*x+b^2
a) x^2+4*x+2^2 hier 2*b=4 ergibt b=4/2=2 und b^2=2^2=4
b) x^2-6*x+3^2 hier 2*b=6 ergibt b=6/2=3 und b^2=3^2=9
d) 4*d^2-4*d+.. dividiert durch 4
d^2-1*d+0,5^2 hier 2*b=1 ergibt b=1/2=0,5 und b^2=0,5^2
Beispiel . f(x)=1*x^2+2*x+3 hier die 1 ausklammern
f(x)=1*(x^2+2*x)+3 binomische Formel (x+b)^2=x^2+2*b+b^2
2*b=2 ergibt b=2/2=1 und b^2=1^2=1
f(x)=1*(x^2+2*x+1^2-1^2)+3 nun die - 1^2 ausklammern
f(x)=1*x^2+1*2*x+1*1^2-1*1^2+3 nun wieder die 1 ausklammern
f(x)=1*(x^2+2*x+1^2)- 1^2+3 binomische Formel anwenden
f(x)=1*(x+1)^2+2
Hinweis: der Ausdruck +1^2 - 1^2=0 ist die "quadratische Ergänzung"
Die Gleichung wird dadurch nur umgewandelt und nicht verändert.
Binomische Formeln:
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
Aufgabe a) x²+4x+? deutet auf die erste binomische Formel hin.
a ist hierbei x und 2ab ist 4x, daraus ergibt sich b=4x/(2x)=2
Ergänzt: x"+4x+2²=x²+4x+4=(x+2)²