Wie funktioniert der Binomialkoeffizient in der Bernoullikette?
Ich bin gerade dabei zu verstehen, wie genau die Bernoulli-Kette funktioniert. Diese wird ja verwendet, um Wahrschneinlichkeit zu bestimmen, bei einer Länge von n Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer zu erzielen. Sie wird für Experimente wie Würfel, Glücksrad, etc verwendet, also Versuche "mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge".
Die Formel sieht wie folgt aus:
Die hinteren beiden Faktoren geben die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis genau k mal vorkommt.
Nun die Frage, die sich mir bei dem ersten Faktor stellt:
Stellt man sich ein Baumdiagramm vor, so gibt dieser alle Pfade in der ein Ereignis k mal auftritt, folglich alle diese Möglichkeiten.
Der Binomialkoeffizient gibt ja auch an, wie viele Möglichkeiten beim "Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" entsteht. Aber nicht wie oben angenommen "mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge". Diese Formel wäre dann:
Wo ist mein Denkfehler?
2 Antworten
Bei einem Binomialexperiment ist die ErgebnismengeHier steht ein {0, 1} für einen einzelnen Versuch und es sind die Anzahl der Möglichkeiten gesucht für k mal Eins bei n Versuchen. Ein Ergebnis beim Ziehen ohne Zurücklegen lässt sich auch in der Form schreiben. Hier gibt es n Kugeln und für jede Kugel gibt es die zwei Möglichkeiten, dass die Kugel gezogen wird oder nicht, denn sie kann nicht mehrfach gezogen werden. Bei der Binomialverteilung werden aus n Versuchen k ausgewählt. Einen einzelnen Versuch gibt es nicht mehrmals. Sondern für einen einzelnen Versuch gibt es nur die Möglichkeiten Erfolg oder kein Erfolg.
Genau genommen werden die Figuren nicht zurückgelegt, sodass eine Abhängigkeit zwischen den Inhalten der Eier besteht. Wenn es nur eine begrenzte Anzahl an Figur A gibt und man einmal die Figur A zieht, müsste die bedingte Wahrscheinlichkeit kleiner werden, nochmal die Figur A zu ziehen. Wenn es die Figur A z.B. nur einmal gäbe, wäre die Wahrscheinlichkeit 0, sie ein zweites Mal zu ziehen.
Bei der großen Anzahl an Eiern und Figuren ist diese Abhängigkeit aber vernachlässigbar und man kann annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Figur immer gleich bleibt, z.B. wenn ich Figur A mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ziehe, gibt es beim nächsten Ei wieder eine Wahrscheinlichkeit von 10%. Und das ist dann so, als ob man mit Zurücklegen ziehen würde. Das Zurücklegen bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gleich bleibt.
@Mathmaninoff Vielen Dank! Das war echt verständlich!
Leider verstehe ich aktuell aber noch nicht so recht warum man mit (n über k) die Anzahl der Pfade bestimmt. Ich kenne den Binomialkoeffizienten aus der kombinatorischen Grundsituation „Ziehen ohne zurücklegen ohne Beachtung der Reohenfolge“.
Wenn man aus n Möglichkeiten eine zieht, hat man für den ersten Zug diese n Möglichkeiten. Im zweiten Zug hat man, da man nicht zurücklegt, nur noch n - 1 Möglichkeiten. Im dritten Zug hat man n - 2 Möglichkeiten, usw. und im k-ten Zug schließlich n - k + 1 Möglichkeiten.
So ergibt sich mit Beachtung der Reihenfolge die Formel:
Zu jedem Ergebnis ohne Beachtung der Reihenfolge, gibt es k! mögliche Reihenfolgen. Darum muss man bei der vorherigen Formel noch durch k! Teilen und erhält die Formel für den Binomialkoeffizienten:
Beispiel: Man ziehe zwei Buchstaben aus A, B, C und D.
Für den ersten Buchstaben gibt es die Möglichkeiten A, B, C und D.
Für die ersten beiden Buchstaben gibt es die Möglichkeiten AB, AC, AD; BA, BC, BD; CA, CB, CD; DA, DB und DC. Das sind 4!/(4 - 2)! = 4!/2! = 4·3 = 12. Möglichkeiten
Da ohne Beachtung der Reihenfolge alles doppelt wäre, muss man durch 2! = 2 teilen. Insgesamt gibt es also 4!/(2!(4 - 2)!) = 24/(2·2) = 6 Möglichkeiten, nämlich AB, AC, AD, BC, BD und CD.
Das verstehe ich soweit, aber ich dachte es ist ziehen MIT zurücklegen (weil ja die Wahrscheinlichkeiten immer gleich bleiben)?
Der Binomialkoeffizient wird auch beim Ziehen mit Zurücklegen verwendet. Wenn man die Ziehungen durchnummeriert, kommt jede Nummer nur einmal. Der Binomialkoeffizient zählt dann die Kombinationen aus Nummern, z.B. bei zwei aus vier Ziehungen die Nummern: 1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4. Bei jedem Paar kommt jede Zahl auch nur einmal vor. Dieser Binomialkoeffzient kann für ein Experiment mit viermaligem Ziehen mit Zurücklegen verwendet werden, wo man die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge bestimmten will. Es gibt diese sechs Möglichkeiten für genau zwei Erfolge.
der Koeffi ergibt die Anzahl der Möglichkeiten an .
Billiges Beipiel :::::::::::::::::::::::::: n = 5 , 0 oder 1 tritt ein , k = 1
10000
01000
00100
00010
00001 ...................... 5 über 1 ist 5
.
bei 2 Einsen ergibt 5 über 2
all diese ::::
11000
10100
bis
00011
Was bedeutet dies zusammengefasst?
Nimmt man 6 Überraschungseier und will wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Figuren (zB. Harry Potter) ist, müsste man doch die Bernoulli-Formel verwenden können. Die Reihenfolge ist egal und die Eier werden geöffnet und weggelegt (=ohne zurücklegen). Dennoch liest man immer Bernoulli ginge nur bei mit Zurücklegen…