Bernoulli Formel und Binomialkoeffizient?
Hallo, ich wollte mal nach dem Unterschied vom Zusammenhang des Binomialkoeffizienten und der Bernoulli Formel. Der Binomialkoeffizient gibt doch an, dass ein Experiment ohne Zurücklegen geschieht. Dieser ist jedoch auch bei der Bernoulli Formel enthalten. Das Bernoulli Experiment ist jedoch dafür bekannt, dass es mit Zurücklegen ist, 2 Ausgänge und ohne Reihenfolge. Wieso ist es trotzdem in der Formel enthalten.
Wäre dankbar für Antworten😊
2 Antworten
Der Binomialkoeffizient (n über k) gibt an, auf wieviele Möglichkeiten man k Elemente aus n Elementen entnehmen kann; ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge - wie z. B. beim Lotto 6 aus 49.
anderes Anwendungsbeispiel, das bei der Bernoulli-Formel zur Anwendung kommt: (n über k) gibt auch an, auf wieviele Arten man k-Elemente auf n Plätze verteilen kann.
D. h. bei der Bernoulli-Formel gibt das (n über k) an, auf wieviele Arten man die k Erfolge auf die n-Versuche verteilen kann, also quasi wieviele Pfade für k Erfolge in Frage kommen. Der Term hinter dem Binomialkoeffizenten gibt die Wahrscheinlichkeit für einen dieser Pfade an.
Ich habe ja auch geschrieben, dass der Binomialkoeffizient für die in Frage kommenden Pfade steht. D. h. Du hast n Plätze/Versuche und musst darauf die k Erfolge verteilen.
Beispiel: n=10; k=4. Für das "erste k" hast Du 10 freie Plätze, für das zweite 9, das dritte 8 und das vierte 7, macht 10*9*8*7 Möglichkeiten. Da man die k's nicht unterscheiden kann, musst Du noch durch deren Kombinationen untereinander (=k!) teilen, also durch 4*3*2*1. Und das ist auch das Ergebnis, wenn Du (10 über 4) in die "Formel" einsetzt und alles mögliche kürzt.
Bin mir grad nicht sicher was Du meinst!
Lotto und Binomialkoeffizient "gehören zusammen". Die Möglichkeiten beim Lotto werden mit dem Binomialkoeffizienten berechnet: 6 aus 49 => (49 über 6) Möglichkeiten.
Das ist ja ähnlich wie beim "Verteilen" der k's auf die n Versuche/Plätze: Beim Lotto 6 aus 49 hast Du quasi 49 Plätze und markierst davon 6...
(n über k) gilt ja auch, wenn nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge egal ist.
Beim Lotto wird eine Kugel nach der anderen gezogen und die Zahlen anschließend sortiert. Bei der Bernoulli-Kette mit n-Versuchen und k-Erfolgen muss man etwas "umdenken". Hier hast Du nicht die Kugeln von 1 bis 49 von denen 6 "ausgewählt" werden, sondern die Versuche Nr. 1 bis n, von denen k erfolgreiche Versuche "ausgewählt" werden.
Also immer wenn Du eine Gesamtmenge n hast und daraus k Elemente nicht unterscheidbar/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählen sollst, gilt (n über k).
Es ging Dir doch "zwischendurch" um den Binomialkoeffizienten (n über k): dies ist die Anzahl an Möglichkeiten, aus einer Menge von n-Elementen k-Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge zu entnehmen. Dies kann man auf verschiedene Situationen anwenden. Beim Lotto (Urnenmodell), wo von einer gewissen Anzahl an Kugeln eine Teilmenge entnommen wird (ohne zurückzulegen und ohne Beachtung der Reihenfolge) oder eben wie bei einer Versuchsreihe, wo es darum geht die erfolgreichen Versuche k auf die Gesamtzahl an Versuchen zu verteilen, auch hier kann jeder Versuch nur einmal erfolgreich sein, und die Reihenfolge spielt auch keine Rolle, weil es dasselbe ist, ob ich sage "Versuch 1, 3 und 7 waren erfolgreich" oder "die Versuche 3,7 und 1 waren erfolgreich".
Diese Bernoulli-Formel besteht aus Binomialkoeffizient multipliziert mit einem weiteren Term und gibt eine Wahrscheinlichkeit an, keine Anzahl! Hierbei gibt der Binomialkoeffizient die Anzahl an Pfaden an (=Anzahl an Möglichkeiten, wie die k Erfolge auf die n Versuche verteilt werden können). Das Produkt der beiden Potenzen dahinter p^k und (1-p)^(n-k) [oder auch q^(n-k)] entspricht der Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines einzigen Pfades bei n Wiederholungen, k Erfolgen und der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Diese Pfadwahrscheinlichkeit multipliziert mit der Anzahl an möglichen Pfaden (n über k) ergibt letztendlich die Gesamtwahrscheinichkeit bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen.
Also Binomialkoeffizient: Anzahl an Möglichkeiten bzw Anzahl an Pfaden aus n elementen k elemente zu erzielen. Lottomodell ist ohne Reihenfolge/ Zurücklegen, deshalb ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Ziehen. Aber trotzdem macht es kein Sinn es bei dem Bernoulli Experiment zu verwenden. Wäre es nicht sinnvoller am Anfang die Formel n hoch k zu nehmen:
also: n hoch k * p hoch k * (1-p) hoch n-k
wobei mir grad einfällt das n hoch k mit Reihenfolge und Zurücklegen ist, Bernoulli ist ja ohne Reihenfolge, aber wieso hat man nicht eine andere Formel statt n über k genommen
Anzahl möglicher Zahlenreihen bei 6 aus 49: (49 über 6)=13.983.816
Wahrscheinlichkeit die eine richtige Zahlenreihe zu treffen: p=1/13.983.816
auf "konventionellem" Weg berechnet:
Um die erste gezogene Kugel richtig zu haben, ist die Wahrscheinlichkeit 6/49, für die nächste 5/48, usw, also
p=6/49 * 5/48 * 4/47 * 3/46 * 2/45 * 1/44 = 720/10.068.347.520 = 1/13.983.816, passt also.
Die Wahrscheinlichkeit beim Lotto berechnet man auch nicht mit dieser Bernoulli-Formel, sondern nur Experimente, bei denen es nur 2 Ergebnisse gibt, denn da bleibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei den entsprechenden Pfaden gleich (es ist egal wann die Treffer erfolgen, solange die Anzahl gleich ist). Den Binomialkoeffizienten braucht man dabei dann, um die Anzahl dieser gleichen Pfade zu bestimmen, da ja bekanntlich bei Baumdiagrammen zur Lösung gehörende Pfade addiert werden.
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Kombinationen es gibt, die Bernoulli Formel hingegen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist genau k aus n zu treffen.
Der Binomialkoeffizient müsste doch aber auch die Anzahl der Pfade angeben. Weil wenn man sagt 10 über 4, achso weil es ohne zurücklegen ist?