Wie bestimmt man die Wendetangente, wenn keine Punkte angegeben sind?

Wie bestimmt man die Wendetangente bei Nr. 2 f)?

Answer 1

[mihisu]

Du hast doch Punkte gegeben... In Teilaufgabe d) solltest du bereits die Wendepunkte (in Abhängigkeit von a) berechnet haben. Da solltest du auf

$W_a\left(\,\frac{1}{3}a\,\middle|\, -\frac{2}{27}a^3\,\right)$

für den Wendepunkt der Funktion gekommen sein.

Dementsprechend musst du nun die Tangente im Punkt ( 1/3 a | -2/27 a³ ) berechnen.

============

Für die Steigung der Wendetangente muss man die Wendestelle 1/3 a in die erste Ableitung einsetzen...

$f'\left(\frac{1}{3} a\right)=3\cdot \left(\frac{1}{3} a\right)^2 -2\cdot a\cdot \frac{1}{3} a=\frac{1}{3} a^2-\frac{2}{3} a^2=-\frac{1}{3}a^2$

Zusammen mit den Koordinaten des Wendepunktes...

$x_W=\frac{1}{3} a;\quad y_W=-\frac{2}{27} a^3$

... kann man dann die Gleichung der Wendetangente angeben...

$y=f'\left(x_W\right)\cdot \left(x-x_W\right)+y_W$

$y=-\frac{1}{3} a^2\cdot \left(x-\frac{1}{3}a\right)+\left(-\frac{2}{27} a^3\right)$

[Etwas ausmultiplizieren und zusammenfassen...]

$y=-\frac{1}{3} a^2\cdot x+\frac{1}{3} a^2\cdot \frac{1}{3}a-\frac{2}{27} a^3$

$y=-\frac{1}{3} a^2\cdot x+\frac{1}{9} a^3-\frac{2}{27} a^3$

$y=-\frac{1}{3} a^2\cdot x+\frac{3}{27} a^3-\frac{2}{27} a^3$

$y=-\frac{1}{3} a^2\cdot x+\frac{1}{27} a^3$

Und... Fertig. Man hat die Gleichung der Wendetangente gefunden.