Wendetangente berechnen?
Könnt ihr mir schritt für Schritt bei der c die wendetangente berechnen?
3 Antworten
Hallo,
zweite Ableitung fa''(x)=(3/2)x-3 gleich Null setzen ergibt x=2.
x=2 in die erste Ableitung (3/4)x²-3x+(3/2)a einsetzen ergibt die Steigung der Wendetangente, nämlich (3/2)a-3.
Schema der Wendetangente: y=mx+b. m, die Steigung, ist (3/2)a-3 und kann schon in die Tangentengleichung eingesetzt werden. Fehlt noch b.
Die Tangente muß den Funktionsgraphen bei x=2 berühren.
Also f(2) bilden. Das ergibt (1/4)*2³-(3/2)*2²+(3/2)a*2-3a+7=2-6+3a-3a+7=3 für alle a, denn a ist aus dem Spiel.
Die Wendetangente muß für x=2 also 3 ergeben.
[(3/2)a-3]*2+b=3.
3a-6+b=3.
b=9-3a.
Wendetangente daher y=[(3/2)a-3]x+9-3a wie angegeben.
Herzliche Grüße,
Willy
Gleichschenklig wird das Dreieck, wenn die beiden Achsenabschnitte gleich lang sind. Der y-Achsenabschnitt liegt bei x=0, ist also 9-3a.
Wenn Du für x also 9-3a in die Tangentengleichung einsetzt, muß das ein e Nullstelle sein. Es muß daher gelten: (3a/2-3)*(9-3a)+9-3a=0.
(3a/2-3)*(9-3a)=3a-9.
3a/2-3=(3a-9)/(9-3a)=-1.
3a/2-3=-1
3a/2=2
3a=4
a=4/3.
Super,danke! Und wie würde mann dann die 2 machen?
Für die zweite Aufgabe gilt: Ist die Dreiecksfläche minimal, gilt das auch für die Rechtecksfläche, die aus dem Produkt der beiden Achsenabschnitte gilt.
Nullstelle mal (9-3a) muß minimal werden.
Du berechnest also, für welches x die Funktion Null wird in Abhängigkeit von a, multiplizierst das Ergebnis mit 9-3a, leitest das Ganze ab, setzt die Ableitung gleich Null und nimmst den Wert, der kleiner als 2 ist.
Zur Kontrolle: a=1.
Ich komme nicht so ganz weiter.. Als nullstelle bekomme ich (3a-9) / (3/2 a - 3)
Korrekt.
Diesen Bruch mit dem y-Achsenabschnitt (9-3a) multiplizieren und nach der Quotientenregel ableiten.
Ableitung gleich Null setzen, wobei es reicht, wenn der Zähler gleich Null wird, denn der Nenner ist nur für a=2 nicht definiert, was ohnehin nicht zur Lösungsmenge gehört.
Du bekommst zwei Lösungen für a und nimmst die, die kleiner als 2 ist.
P.S.: Diesmal hast Du es wirklich mit einer quadratischen Gleichung für a zu tun.
Wenn Du die Gleichung durch den Term vor dem a² teilst, bekommst Du eine Gleichung, die leicht nach dem Satz von Vieta in eine Nullstellenform zu bringen ist. Ansonsten halt pq-Formel.
Oh, aber ich hatte leider noch nicht die Quotientenregel gemacht
Dann mach eine Polynomdivision und leite das Ergebnis nach der Summen- und Potenz- und Kettenregel ab. Alternative ist die Quotientenregel.
Wenn f (x) der Bruch zweier Funktionen u/v ist (mit u=u(x) und v=v(x)), dann lautet die Ableitung f'(x)=(u'v-uv')/v².Es reicht, wenn Du u'v-uv' gleich Null setzt.
Ich habe bemerkt, dass wenn ich die nullstelle mit 9-3a multiplizieren, far kein x habe. Wie leite ich das dann ab?
Ok danke. Habe für a 3 rausbekommen.
Die ableitung war (-36a + 108) / 3 und das habe ich gleich null gesetzt
Du mußt (3a-9)*(9-3a)/(3a/2-3) nach a ableiten und gleich Null setzen.
Nach der Quotientenregel Ableitung des Zählers mal Nenner minus Ableitung des Nenners mal Zähler. Das Ganze geteilt durch das Quadrat des Nenners.
Aber wenn ich den term oben vereinfache kommt (-9a^2 + 54a - 81) / 3/2a - 3raus
Stimmt das?
Dann habe ich einfach nach a begleitet und die konstanten sind weggefallen
Du mußt aber richtig ableiten. Nicht einfach Ableitung des Zählers durch Ableitung des Nenners, sondern Ableitung des Zählers mal Nenner minus Ableitung des Nenners mal Zähler. Das ist dann der Zähler der Ableitung, der gleich Null gesetzt werden muß. Der Nenner ist (3a/2-3)² und darf bei der Nullstellensuche vernachlässigt werden.
Vielleicht kürzt Du vor dem Ableiten den ganzen Bruch erst mal durch 3, dann hast Du es mit kleineren Zahlen zu tun.
Wenn Du alles durch 3 teilst, bekommst Du (a-3)*(3-a)/(a/2-1).
Mit u=(a-3)*(3-a)=-(a-3)², u'=2a-6, v=a/2-1 und v'=1/2 lautet der Zähler der Ableitung (-2a+6)*(a/2-1)-(-(a-3)²*1/2)=-a²/2+2a-3/2.
Gleich Null gesetzt und durch -1/2 geteilt: a²-4a+3=0.
Faktorisiert (a-1)*(a-3)=0 mit den Lösungen a=1 oder a=3.
Da a=3 entfällt, lautet die Lösung a=1.
Wennn du a) und b) bereits gemacht hast, könntest du die Zwischenergebnisse zur Verfügung stellen, damit man nicht bei 0 anfangen muss.
Habe als WP x= 2 aber es kommt ein komisches Ergebnis raus wenn ich die y koordinate berechne
aus b) hast du den WP mit den Koordinaten (xwp/ywp)
.
Nun f'(xwp) bestimmen und einsetzen in
ywp = f'(xwp) * xwp + b
um b zu bestimmen
Wegen des sichtbaren Kontrollergebnisses sollte f'(xwp) = (3a/2 - 3) sein
Bei mir ist der WP bei 2 aber es kommt ein komisches Ergebnis raus wenn ich den y Wert berechnen möchte
Können Sie mir auch bei der d) bei der 1 und 2 helfen? Mein Ansatz für die 2 wäre eine funktion zu erstellen, nämlich
1/2* Nullstelle der Wendetangente * y achsenabschnitt, das ableiten und das minimum finden