Frage von idhiedhwocb, 122

Wie bestimme ich eine Parallele zur x-Achse von der Funktion f(x)=9-x^2?

Die Flächen sollen Gekicher groß sein und durch eine Parallele getrennt werden. Komme nicht auf die Lösung und kenne ich den Weg nicht :/ kann mir jemand helfen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 101

Hallo,

f(x)=9-x² ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die bei 9 die y-Achse schneidet. 

Da diese Parabel achsensymmetrisch ist, reicht es, die Fläche zwischen der Funktion, der x- und der y-Achse zu betrachten, also alles, was sich rechts von der y-Achse befindet. Nun kannst Du natürlich leicht die Fläche zwischen der Funktion und den beiden Achsen berechnen, wenn Du die Funktion integrierst und als Integrationsgrenzen 3 (eine der beiden Nullstellen) und 0 einsetzt. 

Da die Stammfunktion F(x) 9x-(1/3)x³ (das +c laß ich mal weg) lautet und Du für x=0 eh nur 0 herausbekommst, ist die Größe der gesuchten Fläche gleich 27-9=18 FE.

Wenn Du aber nun eine Parallele zur x-Achse suchst, die diese Fläche so teilt, daß Du zweimal 9 FE bekommst, ist das schwierig. Wie soll denn die Funktionsgleichung lauten von einer Funktion, die oben eine Parallele zur x-Achse ist und darunter der Teil einer Parabel? Wieviel einfacher wäre es, wenn stattdessen eine Parallele zur y-Achse gesucht würde, so daß Du nur herausbekommen müßtest, welche Integrationsgrenze Du anstatt der 3 einsetzen mußt, um nicht 18, sondern 9 FE herauszubekommen?

Was wäre also, wenn Du die ganze Geschichte um 90° nach rechts drehst? Dann hast Du genau das, was Du möchtest. Du bildest also die Umkehrfunktion von f(x). Das heißt, Du löst die Gleichung nach x auf und vertauschst anschließend die Variablen.

y=9-x²

x²=9-y

x=(9-y)^(1/2)

Jetzt tauschen wir x und y aus:

y=(9-x)^(1/2) (Das ^(1/2) bedeutet Wurzel aus).

Tatsächlich ist diese Funktion die um 90° nach rechts gekippte Parabel. Sie hat bei x=9 eine Nullstelle und geht bei 3 durch die y-Achse.

Die Stammfunktion (ohne das +c) von ihr lautet: F(x)=-(2/3)*(9-x)^(3/2)

Wenn Du hier die Integrationsgrenzen 9 und 0 einsetzt, bekommst Du

0-[-(2/3)*(9-0)^(3/2)]=18 heraus, genau dieselbe Fläche wie vorher, was nicht weiter verwunderlich ist.

Die erste Null ergibt sich, wenn Du in die Stammfunktion für x die 9 einsetzt.

Da dann die Klammer Null wird, und Null mal irgendetwas hoch irgendetwas (ungleich Null) Null bleibt, steht dort eine Null.

Nun können wir aber berechnen, was wir anstelle von 0 als untere Integrationsgrenze einsetzen müssen, damit 9 herauskommt:

0-[-(2/3)*(9-a)^(3/2)]=9,

also (2/3)*(9-a)^(3/2)=9

(9-a)^(3/2)=27/2

9-a=(27/2)^(2/3)

-a=(27/2)^(2/3)-9

a=-(27/2)^(2/3)+9=3,330355275

Hier liegt also die gesuchte Parallele, die zu einer Parallele zur x-Achse wird, wenn wir die Geschichte wieder um 90° nach links drehen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du wissen willst, wie es ohne Umleitung geht, siehe stekums Antwort. Ich war mal wieder zu barock. Aber unsere Ergebnisse stimmen überein.

Alles Gute,

Willy

Kommentar von Vatinka ,

Hey Willi, warum hat die Stammfunktion ein Minus vor dem (2/3)?

Kommentar von Willy1729 ,

Weil sich innerhalb der Klammer ein -x befindet. Du mußt hier mit Substitution integrieren und als Ausgleich 9-x ableiten, was -1 als Vorfaktor ergibt.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 78

wenn die Fläche der Parallelen zur x-Achse so groß sein soll wie die Fläche die die Parabel mit der x-Achse einnimmt (also in den gleichen Grenzen), dann:

zuerst rechnest Du F(x) aus und dann das Integral in den Grenzen der Nullstellen, so erhälst Du die Fläche, die die Parabel mit der x-Achse einschließt.

Dann sollst Du eine Parallele zur x-Achse finden (also g(x)=b), die die gleiche Fläche einnimmt: Du könntest nun G(x) bilden und dann das Integral wie zuvor ermitteln und dann nach b auflösen; aber da es sich um ein Rechteck handelt, kannst Du auch gleich Gesamtfläche durch die Strecke Nullstelle1 - Nullstelle2 ausrechnen und hast Dein b.

Kommentar von Willy1729 ,

Es handelt sich aber nicht um ein Rechteck, denn der linke wie der rechte Rand sind krummlinig begrenzt (wenn Du nur den Teil rechts von der y-Achse betrachtest, bleibt immer noch der krumme rechte Rand, der von einem Abschnitt der Parabel gebildet wird.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Rhenane ,

Danke, hast natürlich vollkommen recht. Habe während meiner Überlegungen wohl irgendwann die Aufgabenstellung verdreht und ein Rechteck gesucht, welches die gleiche Fläche wie die Parabel einnimmt, statt deren Fläche in zwei gleiche Teile zu teilen...

Antwort
von Roderic, 52

Dreh das ganze Bild um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn - und löse dann die Aufgabe.

Es wird erheblich einfacher ;-)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 54

zuerst Nullstellen bestimmen und Fläche von 0 bis rechte Nullstelle unter der Parabel berechnen.

Kommentar von idhiedhwocb ,

Und dann? Wie komme ich dann zu der parallele?

Kommentar von Ellejolka ,

was hast du bis dahin raus?

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 51

Vermutung: Die Fläche zwischen Parabel und x-Achse soll durch eine Parallele
zur x-Achse in 2 Teile gleicher Fläche zerlegt werden. Dann wird auch die (halb so große) Fläche A zwischen Parabel und pos. x- und y- Achse in flächengleiche Teile zerlegt. Es ist A das Integral über 9 - x² von 0 bis 3, also 18. Der Schnittpunkt der waagrechten Geraden g mit der Parabel sei P(u | 9 - u²). Die Fläche A₀ oberhalb von g ist Integral über 9 - x² von 0 bis u abzüglich der Rechtecksfläche u(9 - u²) = 9u - u³. Damit ist A₀ = ⅔ u³. Aus A₀ = ½ A = 9 berechnet man u und erhält so die Gleichung der Teilgeraden y = 9 - u².


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