Frage von FreakyTag, 33

Wie berechnet man diese Winkel im Dreieck (Bild)?

Aufgabe: "Im Dreieck ABC gilt |DB| = |DC|. Außerdem ist der Inkreis mit Mittelpunkt M eingezeichnet." wir sollen beta , alpha und diesen anderen komischen winkel bestimmen, beta und dieses komische zeichen habe ich schon ausgerechnet, ist auch richtig , habe ich in den lösungen nachgeguckt. Aber ich verstehe Alpha nicht.. Alpha soll 57Grad sein.. Aber wie? Wir hatten den Inkreis noch nicht, hat das vielleicht was mit dem Inkreis zutun wie man das ausrechnet? Und wenn ja kann es wer auch erklären warum alpha 57 grad ist danke

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik & Schule, 11

Wenn |DB| = |DC|, dann ist das Dreieck BDC gleichschenklig.

Der Winkel β ist somit (180° - 98°)/2 = 41° groß. Genauso ist der letzte (nicht beschriebene) Winkel im Dreieck BDC 41° groß.

Der Winkel δ (sprich: Delta) ist der Nebenwinkel zu den 98° und ist somit 180° - 98° = 82° groß.

Jetzt kommen wir zum Inkreis: Der Mittelpunkt dessen ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Daraus folgt, dass die Strecke |DC| den Winkel bei C halbiert. Und da wir wissen, dass der Winkel rechts neben C genau 41° groß ist, können wir sagen, dass der gesamte Winkel bei C eben 82° groß ist.

Mit der Winkelsumme im Dreieck können wir nun den Winkel α berechnen:

α + β + 82° = 180°

β beträgt 41°, also:

α + 41° + 82° = 180°
α + 123° = 180°
α = 180° - 123° = 57°

Und somit haben wir alle Winkel berechnet: α = 57°β = 41° und δ = 82°.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 13

Hallo,

der Mittelpunkt des Innenkreises ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Die Verbindung C-M teilt also den Winkel Gamma in der Spitze des Dreiecks in zwei gleiche Teile.

Da D-B=D-C, müssen auch Winkel Beta und die Hälfte von Winkel Gamma gleich groß sein.

Da der Winkel bei D 98° hat, bleibt für Beta und die Hälfte von Gamma noch 82° übrig, weil sich die drei Winkel eines ebenen Dreiecks immer zu 180° ergänzen.

82/2=41

Gamma1 und Gamma 2 haben also jeweils 41°

Winkel Delta hat ebenfalls 82°, weil er ein Nebenwinkel von 98° ist.

Dann muß Alpha 180°-(82+41)=180°-123°=57° sein.

Herzliche Grüße,

Willy

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