Wie berechnet man die maximale Konzentration (Mathe)?

Kann mir jemand weiter helfen? Ich bin mir ziemlich sicher, dass eine Gleichung aufgelöst werden muss, nur im Zusammenhang mit der unbekannten maximalen Konzentration bin ich extrem verwirrt…

Answer 1

[evtldocha]

Was verwirrt denn da? Wie immer in der Kurvendiskussion ist da irgendeine Funktion gegeben (deren wahre Bedeutung völlig unwichtig ist und ob die irgendwas realistisch beschreibt ist auch - fast - ohne jeden Belang). Das einzig Unbekannte könnte sein, dass hier mal nicht "x" die Variable ist, sondern "t". Aber mehr ist da dann auch nicht.

Die Funktion gibt eine Konzentration an und Du sollst das Maximum der Konzentration suchen (Die Funktion gibt also schon einen Wert für eine Größe, deren Maximum Du suchen sollst).

Also wie immer Schema K(urvendiskussion):

• Erste Ableitung bilden (Nach "t" ableiten)
• Nullstellen der ersten Ableitung finden
• Zweite Ableitung bilden
• Nachprüfen welche Nullstelle(n) der ersten Ableitung eingesetzt in die zweite Ableitung kleiner Null ist/sind. Das ist/sind das/die Maximum/lokalen Maxima.
• Nun f(t) für den t-Wert des Maximums und schon hast Du die maximale Konzentration.

Nachtrag nach Kommentar:

Für die erste Ableitung erhalte ich (Deine Lösung aus dem Kommentar ist korrekt, ich habe hier nur zusätzlich noch die Exponentialfunktion ausgeklammert):

$k'\left(t\right)\ =\ e^{-0,25t}\cdot\left(5t-0,625t^2\right)$

Davon Die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt:

$5t-0,625t^2=t\cdot\left(5-0,625t\right)=0\ \Leftrightarrow\ t_1=0\ oder\ t_2=8$

Die zweite Ableitung ist (wieder die Exponentialfunktion ausgeklammert und die Terme zusammengefasst): $k''\left(t\right)\ =\ e^{-0,25t}\cdot\left(-2,5t\ +0,25\cdot0,625\cdot t^2+5\right)$

Nullstellen der ersten Ableitung einsetzen:

$k''\left(0\right)\ =5\ >0\ \rightarrow\ Minimum\ bei\ t_1=0$ $k''\left(8\right)\ =\ e^{-2}\cdot\left(-5\right)\ <\ 0\ \rightarrow\ Maximum\ bei\ t_2=8$

Comments

[linasimbaxo]

Dankeschön, bin aber trotzdem etwas verwirrt. Ist die erste Ableitung dann nicht k‘(t)= 2 x 2,5t^2 x e^-0,25t + 2,5t^2 x (-0,25) x e^-0,25t ?

[evtldocha]

@linasimbaxo

Dann hättste besser gefragt: Wie lautet die erste Ableitung von k(t)?
Dann wäre meine Antwort vielleicht zielgenauer ausgefallen.

[linasimbaxo]

@evtldocha

Die Schritte brauche ich trotzdem, daher war die präzise Antwort sehr hilfreich, nur scheint die Theorie einfacher zu sein als die Praxis, daher die Verwirrung. Es fällt mir trotz der Beschreibung der Schritte schwer, die Aufgabe zu lösen.

[linasimbaxo]

Danke sehr für den Nachtrag, das habe ich gut nachvollziehen können. Dann müsste ich ja im nächsten Schritt die zweite Ableitung bilden mit Rücksicht auf die Kettenregel. Wie lautet dann diese?

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

gemäß der Produkt- und Kettenregel nach t ableiten, auf Null setzen und prüfen, welches Ergebnis das Minimum und welches das Maximum darstellt.

Herzliche Grüße,

Willy