wie berechnet man maximum und minimum bei quadratischen funktionen? Also aus einer Textaufgabe die Gleichung zu filtern?
Mathe
4 Antworten
1.) Die quadratische Funktion (Originalfunktion) sauber aufschreiben.
2.) Die 1-te Ableitung bilden und aufschreiben.
3.) Die 2-te Ableitung bilden und aufschreiben.
4.) Die 3-te Ableitung bilden und aufschreiben.
5.) Die Nullstellen der 1-ten Ableitung ausrechnen.
6.) Die x-Werte der Nullstellen der 1-ten Ableitung in die Originalfunktion einsetzen, um die zu den x-Werten dazugehörigen y-Werte zu berechnen. Du hast dann die Extremwertpunkte.
7.) Die x-Werte der Nullstellen der 1-ten Ableitung in die
2-te Ableitung einsetzen und ausrechnen.
Kommt ein Wert heraus, der < 0 ist, dann ist dieser entsprechende Extremwertpunkt ein Maximum.
Kommt ein Wert heraus, der > 0 ist, dann ist dieser entsprechende Extremwertpunkt ein Minimum.
Kommt ein Wert heraus, der = 0 ist, dann muss der x-Wert auch noch in die 3-te Ableitung eingesetzt werden, ist f´´´(x) an dieser Stelle ≠ 0 dann liegt ein Sattelpunkt vor, der kein Extremwert ist.
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Das kannst du auf diese Art und Weise für jede Funktion machen, die ausreichend definiert ist. Wenn du die Differentialrechnung noch nicht in der Schule hattest, dann mache es, indem du bei deiner quadratischen Funktion den Scheitelpunkt bestimmst, welcher ein Extremwertpunkt ist.
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c
Parameter a > 0, dann Minimum
Parameter a < 0 dann Maximum
Du leitest die gegebene Funktion ab. Dann berechnest du die Nullstellen in dem du die Funktion = 0 machst. Jetzt hast du wahrscheinlich mehrere Nullstellen und weißt nicht ob es nun Hoch oder Tiefpunkte sind. Dazu nimmst von einer Nullstelle den Vor und Nachgänger als jetzt zb bei 2 nimmst du 1 und 3. Beides setzt du in die Ableitungsfunktion ein. Wenn es zwischen beiden Ergebnissen ein Vorzeichenwechsel von - nach + gibt ist es ein Tiefpunkt umgekehrt ein Hochpunkt. Zuletzt setzt du die Nullstellen in die ursprüngliche Funktion ein um die genaue Stelle der Extrema herauszufinden.
Diese Minimaxaufgaben sind als Texte gern alle auf ähnliche Art und Weise gestrickt.
Man soll dann ein meist Rechteck in einer Parabel unterbringen. Wenn ein Buchautor etwas Phantasie entwickelt, ist es eine Brücke oder ein Tunnel, wo dann ein Lkw oder ein ähnliches Gefährt hindurchpassen soll. Besonders viel Gehirnschmalz liefert einen Speerwerfer, der einen Speer parabelförmig wirft.
Auch die Herangehensweise ist meist gleichartig. Man nimmt sich eine andere Formel aus den ebenen oder räumlichen Beständen an Figuren, eliminiert daraus eine Variable (z.B. eine Seite aus dem Umfang), bildet daraus eine Fläche o.Ä., die in irgendeiner Weise die x- und y-Koordinaten umfasst, sodass eine abhängige Kurve (meist 3. Grades) entsteht, welche abzuleiten kaum Mühe macht.
Damit bekommt man die Stelle eines Extremums (das andere ist in der Regel 0 oder negativ) und ist fertig.
Wenn man gut aufgelegt ist, macht man noch eine Probe oder beweist auch mit der zweiten Ableitung, was für ein Extremum vorliegt, obwohl man es dann schon längst weiß.
Scheitelpunkt berechnen
Beispielaufgabe?