Wenn ich eine Hyperkugel um die w-Achse bewege, wird die Kugel dann größer?
Hallo! ^w^
Ich kenne mich mit Hyperkugeln und so kein Stück aus. Ich lerne sowas gerade.
Es ist ja so, dass wenn man eine Kugel durch ein 2-Dimensionales "Land" wirft, dass das für ein 2-Dimensionales Objekt aussieht, wie eine Kugel, die immer größer und kleiner wird.
Das habe ich aus diesem Video. Es ist nur 3 Minuten lang.
Wenn jetzt ein Vierdimensionales Objekt eine Hyperkugel durch eine 3-Dimensionale "Welt" wirft, sieht das dann für uns aus, wie eine Kugel, die immer größer wird und dann kleiner? Z.B. wenn ich eine Kugel mit Radius pi/2 durch eine 2-Dimensionale Welt werfe, sieht das für ein 2-Dimensionales Objekt ja aus, wie ein Kreis, der den Radius sin(n) hat, wenn die Kugel bis zum Punkt n in der Welt ist.
Wenn jetzt ein 4-Dimensionales Objekt eine Hyperkugel mit dem Radius pi/2 durch die dritte Dimension wirft, ist das für uns dann eine Kugel, die immer den Radius sin(n) hat?
Ich formuliere mich sehr unmathematisch, aber ich hoffe, dass man das immer noch versteht.
Danke! ^^
1 Antwort
Deine Formel kann nicht stimmen, weil der sichtbare Kreisradius zwischen 0 und π/2 pendelt, sin(n) aber nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt.
Durchquert eine Kugel mit Radius r eine Ebene, erscheint sie dort als Kreis mit Radius √(r−h) für −r≤h≤r. Das lässt sich ganz leicht nachrechnen:
- Kugel mit Mittelpunkt (0, 0, h): x₁²+x₂²+(x₃–h)²=r²
- Ebene: x₃=0
- ⇒ Schnittmenge: x₁²+x₂²=r²−h² (nur reell für |h|≤r).
Die Rechnung geht genauso für höhere Dimensionen.
Beachte, dass das Schaubild von √(r−h) ein Halbkreis ist und an den Rändern eine senkrechte Tangente hat. Wenn die 4D-Kugel in unseren 3D-Raum eindringt, gibt es also eine gewaltige Explosion, weil sich der sichtbare Kugelradius anfangs (bei h=−r) „unendlich schnell“ vergrößert. Don't try this at home, kids!
