Wenn ein Planet eine doppelt so große Umlaufzeit wie ein anderer Planet hat, ist dann die Halbachse auch doppelt so groß?
Wenn ein Planet eine doppelt so große Umlaufzeit wie ein anderer Planet hat, ist dann die Halbachse auch doppelt so groß?
Mit dem Beispiel:
Planet Io: 1,77 Tage
Planet Europa: 3,55 Tage
2 Antworten
Hallo LisaSlayy,
Io und Europa sind keine Planeten, sondern Monde des Planeten Jupiter. Natürlich ist das einerlei.
Allerdings sind große Große Halbachse und Umlaufzeit nicht proportional, weil die Bahngeschwindigkeit mit wachsender Entfernung ebenfalls abnimmt. Sie folgt stattdessen der 3. KEPLER- Regel
(1) T² ~ a³.
Für Kreisbahnen mit r = a ist dies relativ leicht auszurechnen, durch Gleichsetzung der erforderlichen Zentripetalbeschleunigung (in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ω) mit der Gravitationsfeldstärke bzw. deren Betrag:
(2.1) ω²r = 4π²r⁄T² = G∙M⁄r²
nach T umgestellt:
(2.2) T² = r³∙(4π²/G∙M).
Dabei ist G die Gravitstionskonstante und M die dominante Masse, in diesem Fall die des Jupiter.
...oder nach r umgestellt:
(2.3) T²∙(G∙M/4π²) = r³
Diese Beziehung gilt auch für das Verhältnis zwischen zwei Umlaufzeiten T₁ und T₂ einerseits und r₁ und r₂ andererseits:
(3) (T₂⁄T₁)² = (r₂⁄r₁)³
(das Gezumpel kürzt sich raus). Sind die Verhältnisse der Zeiten bekannt, muss die 3. Wurzel daraus gezogen werden. Dieser Befund lässt sich auf elliptische Bahnen übertragen, mit a statt r.
Das Verhältnis der Umlaufzeiten ist etwa 2 (das Doppelte von 1,77 liegt mit 3,54 ganz in der Nähe von 3,55).
So ist r₂⁄r₁ ≈ 2²⸍³.
emm, nein, dass sagt doch das 3. Gesetz von Kepler.
Der Zusammenhang verläuft nach r^3/2 bzw. T^2/3
T2 beträgt ca. das doppelte von T1, daher beträgt r2 ca. das 1,6-fache von r1
Könntest du es näher beschreiben mit r2 ca das 1.6-fache von r1?