Welcher Punkt auf der Parapel p:y=0.5x^2 hat den kürzesten Abstand von P(6/0)?
Hi
Wie löst man diese folgende Aufgabe bzw. warum ist b= (1/2)*x^2 ? Aufgabe. Welcher Punkt auf der Parapel p:y=0.5x^2 hat den kürzesten Abstand von P(6/0)?
Lösungsweg;
Skizze angehängt.
Link mit evt. besserer Auflösung: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=071f71-1430063038.png
Danke
4 Antworten
Bitte Parabel mit b schreiben.
Wenn PQ minimal ist, dann steht PQ senkrecht auf der Tangente in Q,
d.h. PQ ist Normale an p in Q. Sei Q(u | ½u²).
Die Steigung von p in Q ist dann f ‘(u) = u und die Steigung der Normale ist
‒ 1/u und ihre Gleichung ist y = ‒ (1/u)(x ‒ u) + ½u² = ‒ (1/u)(x ‒ u ‒ ½u³).
Sie soll durch P(6 | 0) gehen, daher 0 = ‒ (1/u)(6 ‒ u ‒ ½u³)
also ½u³ + u ‒ 6 = 0 oder u³ + 2u ‒ 12 = 0, also u = 2.
nennen wir den Abstand d
da Q auf der Prabel liegt, kannst du ihn Q(x ; 1/2 x²) nennen.
dann Pythagoras: d² = (6-x)² + (1/2 x²)² und jetzt kannst du nach Klammer auflösen das Minimum von d² mit 1.Ableitung suchen;
weil wenn d² minimal, dann auch d minimal
Es müsste ca. {1,7I1,5} bis {2I2} sein. irgendwo dazwischen :D
Satz des Pythagoras, mehr sag ich nicht :P
Danke, aber warum ist Q(x, 1/2x^2) also wie kommt man auf das 1/2x^2 ?