Was muss ich bei dieser Aufgabe machen?

Es geht um die Teilaufgabe b). Ich war nun so mit einem anderen Thema beschäftigt und komme gerade einfach nicht darauf.. die Lösung sagt t=1/500.

Vielen Dank im Voraus. :)

Answer 1

[Rammstein53]

a)

Da sich das Flugzeug mit v=800km/h bewegt, muss der Richtungsvektor u passend skaliert werden, und zwar so, dass der Betrag von |u| = 800 ergibt.

g(t) = A + t*u = (3,7,8) + t (3*160 , 4*160 , 0)

g(t) = A + t*u = (3,7,8) + t (480,640,0)

b)

Der quadratische Abstand der Flugbahn zum Punkt (3,9,0) beträgt

d²(t) = (3 + 480t -3)² + (7+ 640t -9)² + 8²

d²(t) = 25*t² -16*t + 68

Über die Ableitung das Minimum suchen: tmin = 1/500 (Einheit ist h)

c)

Der quadratische Abstand der beiden Flugbahnen beträgt

d²(t) = (3 + 480t -(4 +480t))² + (7+ 640t -(11+480t))² + (8 - (7.6 +24t))² =

26176*t² - 1299.2*t + 17.16

Über die Ableitung das Minimum suchen: tmin ~ 0.024817 (Einheit ist h)

Comments

[lausama1]

Woooow vielen Dank für deine ausführliche Antwort!! Danke :) LG

Answer 2

[evtldocha]

Ich habe natürlich keine Ahnung, mit welcher Methode ihr so etwas zu rechnen gelernt habt, daher hier so gerechnet, wie ich das mit dem Quadrat des Abstands und der Minimierung dieses Abstandsquadrats rechnen würde:

Zur Erinnerung: der Abstand zweier Punkte P(x₁,y₁,z₁) und Q(x₂,y₂,z₂) ist:

$d=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}$

Mit den Koordinaten der Flugbahn und der Radarstation ergibt sich folgende zeitabhängige Funktion des Quadrates des Abstands vom Flugzeug zur Radarstation (das Quadrat des Abstands wird nur gewählt, um die folgende Ableitung möglichst einfach zu halten):

$\left(d\left(t\right)\right)^2=\left(3+480\cdot t-3\right)^2+\left(7+640\cdot t-9\right)^2+\left(8-0\right)^2=$ $480^2\cdot t^2+\left(640\cdot t-2\right)^2+64$

Es wird das Minimum dieser "Quadrat des Abstands"-Funktion gesucht, also erste Ableitung gleich null setzen:

$\frac{d\ \left(d\left(t\right)\right)^2}{dt}=480^2\cdot2\cdot t+2\cdot\left(640\cdot t-2\right)\cdot640\ =0$

Daraus folgt:

$t\cdot\left(2\cdot480^2+1280\cdot640\right)=\ 2560\ \to t\ =\frac{2560}{2\cdot480^2+1280\cdot640}=\ \frac{1}{500}$