Was ist mit „ deuten die Ableitung mithilte der Approximation durch lineare Funktionen“ gemeint?
Dies ist ein Punkt von der website, über dass was man für das Abitur in Nrw in Mathe können muss… Nur ich versteh nicht so ganz was gemeint ist …
Wird damit das Ableiten mit dem Differenzquotient gemeint?
5 Antworten
Nur ich versteh nicht so ganz was gemeint ist
Kein Wunder, das liegt an der Arroganz der Mathematiker, zu der ich gerade zufällig einen Artikel gelesen habe:
Die Formulierung, die zu zitierst, mag im Sinne der "Reinen Lehre" unangreifbar sein, ist jedoch völlig unpraktisch und unverständlich.
"lineare Funktionen" ist eine Gerade
"deuten die Ableitung mithilte der Approximation" bedeutet, dass die Ableitung der Funktion an einer bestimmten Stellle der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. Mit !Aproximation" istr dabei die h-Methode gemeint.
Also obiger Satz auf Deutsch: Der Schüler soll die h-Methode kennen, um so über den Grenzwert des Differenzquotienten die Steigung der Tangente ermitteln zu können. Er soll erkennen, dass diese Steigung der 1. Ableitung entspricht.
Die Ableitung ist der Differentialquotient. Und das ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für den Abstand gegen Null.
Du weißt, wie man den Differenzenquotienten ausrechnet? Delta y durch delta x? Und dann lässt man delta x ja immer kleiner werden. Damit gibt es eine Approximation des Differenzenquotienten an die Ableitung. Im Grenzfall ist es die Ableitung, also die Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Approximierst du die Funktion an irgendeinem Punkt, dann kommst du auf die Tangente und das entspricht deiner Idee mit dem Differenzquotienten.
Klingt mir eher nach Taylor: Wenn man den Funktionswert an der Stelle nimmt und als lineare Steigung den Wert der ersten Ableitung, hat man die Funktion approximiert.
Stell dir vor, du hast irgendeine Funktion, zum Beispiel f(x) = x². Betrachte die Funktion als Punktmenge. Das heißt, du hast überabzählbar viele Punkte
P = { (x, y) aus IRxIR | y = x²}.
Nun sei die Situation so, dass nur ein paar (abzählbar viele) dieser Punkte bekannt seien. Zum Beispiel setzt du für x -2, -1, 0, 1 und 2 ein. Wenn du die Punkte mit geraden Linien verbindest (d. i. du lässt durch je zwei Punkte eine lineare Funktion verlaufen), bilden die Strecken zwischen den verbundenen Punkten eine Annäherung (Approximation) an die Funktion f. Je mehr, gleichmäßig verteilte Punkte du hast, desto genauer wird die Annäherung.
Diese Form der Annäherung nennt man auch Interpolation, da die gegebenen Punkte auf der Funktion liegen.
