Was ist "Hilberts Hotel"?
Hi, Morgen muss ich die Mathe Hausaufgabe verbessern und unser Lehrer hat mir noch eine Extraaufgabe gegeben: Ich müsse etwas über das sogenannte "Hilberts Hotel" erzählen. Ca. " min lang. Jetzt habe ich ein Problem: 1. Ist es nie gut, wenn man einfach etwas von Wikipedia übernimmt (das darf man glaube ich nicht einmal) und 2. verstehe ich es bei Wiki auch nicht --> ich kann es nicht umschreiben. Weiß von euch jemand was das "Hilberts Hotel" ist und kennt sich ein bisschen aus?? Es wäre echt super, wenn mir jemand dabei helfen kann :) Vielen Dank im Voraus ;-)
3 Antworten
Was auf Wikipedia steht weiß ich jetzt nicht genau, aber ich habe ein paar mal von Hilberts Hotel gelesen, meistens eher im philosophischen Zusammenhang, die Grundgeschichte wie ich sie gelesen habe (die Geschichte variiert oft leicht, aber die Kernaussage ist dieselbe, für das Verständnis finde ich sie so erzählt am Besten):
Stell dir vor (wenn du das erzählen musst kannst du übrigens ruhig deine Zuhörer direkt ansprechen, das macht Vorträge besser) es gibt ein Hotel, mit unendlich vielen Zimmern. Es kommen unendlich viele Leute und sie alle nehmen ein Zimmer, damit ist das Hotel voll. Es kommen aber endlich viele neue Besucher, sagen wir 4, gerne ein Zimmer hätten. Im Hotel ist aber kein Zimmer mehr frei, oder? Der Manager bittet alle Gäste, die schon da sind jeweils in das Zimmer mit der um 1 höheren Zimmernummer zu gehen (Also der Gast vom zimmer 1 geht ins 2, der Gast von Zimmer 2 ins Zimmer 3,...), das ist möglich, denn das Hotel ist ja unendlich, dementsprechend gibt es keine höchste Zimmernummer und für jedes Zimmer n auch ein Zimmer n+1. Dadurch ist ein Zimmer frei geworden, für unsere 4 neuen Gäste machen wir das 4 mal und schon haben sie alle Platz. Jetzt kommt aber ein Bus mit unendlich vielen Zimmersuchenden. Wir können die Leute nicht dazu auffordern unendlich mal Zimmer zu wechseln (die werden ja nie fertig), also was machen wir? Die Gäste, die schon da sind werden in das Zimmer geschickt, mit der Zimmernummer, die doppelt so groß ist wie ihre. Also der Gast in Zimmer Nummer 1 geht ins Zimmer Nr.2, der vom Zimmer Nr.2 ins Zimmer Nr.4 und so weiter. Das geht, weil die Zimmern im Hotel unendlich sind, also höhren die Zimmernummern nie auf- und jede Zahl lässt sich verdoppeln. Dadurch hat man erreicht, dass Zimmer frei werden. Nämlich die Zimmern 1,3,5,... mit ungeraden Nummern. (Ihre ehemaligen Bewohner sind in andere Zimmer gegangen und neue kommen nicht, weil es kein Zimmer gab, von dem diese Nummer die doppelten sind.) Es gibt unendlich viele Zimmern, also auch unendlich viele ungerade. Für die unendlich vielen Leute eines Busses ist also schon Platz. Aber nun kommen unendlich viele solche Busse, mit unendlich vielen Leuten, die ein Zimmer im Hotel wollen. Das Hotel ist schon voll, also was machen? Wir machen wieder, wie vorher die ungeraden Zimmer frei (in dem wir die Gäste in das Zimmer mit der doppelten Nummer schicken), nur achten wir diesmal auf die Verteilung. Die Leute des 1. Busses schicken wir in die Zimmern 3,9,27,... (also immer 3^...), die des 2.Busses zu 5,25,... (also immer 5^...) , das geht problemlos, wir müssen nur darauf achten, dass wir die Busse nacheinander zu Potenzen der Primzahlen schicken, damit kein zimmer 2 Mal vergeben wird (die des 3. Busses werden zu den 7^... Zimmern geschickt). Es gibt unendlich viele Primzahlen, also können wir alle Buse zuteilen und es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, die wir in die Hochzahl schreiben können, also haben alle unendlich viele Passagiere platz. Also ist für alle Leute Platz, obwohl das Hotel schon belegt war. Wie ist das möglich?
Diese Spielereien mit der Unendlichkeit sind philosophische und mathematische Probleme. Eigentlich sind sie aber kein Paradoxon, sondern nur ein bisschen gegen das Gefühl, das man hätte, das ist bei Unendlichkeit oft so.
Mathematisch spielt die Idee der abzählbaren Unendlichkeit mit, aber das ist fast schon wieder eine Sache für sich und da du Schüler bist (?), weiß ich nicht ob das gefragt ist oder den Rahmen sprengt.
War das verständlich? " in lang? Wie viel brauchst du den für deine Präsentation? Wenn du noch etwas wissen willst oder einen Beweis zu etwas von dem Geschriebenen brauchst oder so diskutiere ich gerne mit dir, ich finde diese Hilbert Geschichte nämlich irgendwie faszinierend.
wenn unendlich viele busse mit jeweils unendlich vielen plätzen kommen, dann geht der spass auch noch rein dank cantors diagonalverfahren.
ein Paradoxon
sollst du es unbedingt an Hilberts Hotel erklären??
oder geht es auch mit einer Funktion???
Ich muss leider direkt Hilberts Hotel erklären, habe jetzt aber eine perfekte Erklärung bekommen. Aber trotzdem danke
Die Nummer 1 ist für mich http://www.booking.com/index.html?aid=365443&lang=de
Das ist echt super, tausend Dank.
Ja, ich bin ein Schüler eines Gymnasiums und ich werde es auch so übernehmen, denn das ist sehr sehr gut erklärt. Allerdings ist der ganze Sachverhalt sehr kompliziert.
Ich brauche etwa 2 Minuten darüber zu reden und das bringe ich hiermit auf alle Fälle zusammen.
Ich bin wunschlos glücklich und brauche nun keine Informationen mehr, aber danke für das Angebot.
Faszinierend ist es auf jeden Fall, aber Mathe ist nicht so mein Ding.
Nochmals vielen Dank, sie haben meinen Vortrag gerettet :))