Was ist Unendlichkeit?

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16 Antworten

Mathematische Unendlichkeit gibt es in jedem Fall, schon allein dadurch, dass es keine größte natürliche Zahl und auch keinen kleinsten Bruchteil von 1 gibt. Daher gibt es auch Mengen, die ganz offensichtlich unendlich viele Elemente enthalten, wie ℕ oder (0,1].

Kardinalität

Das Intervall (0, 1] enthält sogar »mehr« Elemente als ℕ. Der Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität und die Kardinalzahlen beschreibt allgemein die »Anzahl der Elemente« endlicher wie unendlicher Mengen. Dies kann mit Hilfe von Abbildungen geschehen:

Eine Abbildung

f: X → Y; x ↦ y

ist eine Relation, bei der jedem x∈X genau ein y∈Y zugeordnet wird.

Ist die Eindeutigkeit umkehrbar, heißt f injektiv.
Ist ganz Y die Wertemenge, heißt f surjektiv.
Ist beides der Fall, heißt f bijektiv. In diesem Fall ist auch

f⁻¹: Y → X; y ↦ x

eine Abbildung.

Seien weiterhin X und Y Mengen; deren Kardinalitäten |X| und |Y| heißen.

Ist |X| > |Y|, so gibt es keine injektiven Abbildungen f:X→Y.
Ist |X| < |Y|, so gibt es keine surjektiven Abbildungen f:x→Y.
Ist |X| = |Y|, so gibt es bijektive Abbildungen f:X→Y.

Sind X und Y endliche Mengen, ist jede injektive Abbildung auch surjektiv und umgekehrt. Bei unendlichen Mengen ist das nicht unbedingt der Fall.

|ℕ| wird auch ℵ₀ genannt. Allerdings ist auch |ℚ|=ℵ₀ und selbst |𝔸|=ℵ₀ (𝔸 ist die Menge aller algebraischen Zahlen, also sogar √2). Die nächstgrößere Kardinalität wird mit ℵ₁ bezeichnet.

Mit ℵ oder auch 𝔠 (für continuum) wird |ℝ| bezeichnet, und die sogenannte Kontinuumshypothese sagt aus, dass 𝔠 = ℵ₁ ist. Sie lässt sich allerdings mit den derzeitigen Axiomen weder beweisen noch widerlegen.

Erweiterte Reelle Zahlen

Eine ganz andere Form der Unendlichkeit tritt uns bei den erweiterten Reellen Zahlen entgegen, die es in affiner Form als

ℝ̅ = ℝ∪{–∞; +∞}

und in projektiver Form als

ℝ* = ℝ∪{∞}

gibt. Mit diesen Unendlichkeiten kann man nicht so rechnen wie mit gewöhnlichen Zahlen um muss sich vor allem hüten, etwa

∞∈ℝ* = 1/0

zu setzen. Durch 0 kann nicht deshalb nicht geteilt werden, weil das unendlich wäre, sondern weil es dank der Eigenschaft der 0 als großem Plattmacher (0·a=0∀a∈ℝ) keine Eindeutigkeit gibt und man Unsinn beweisen könnte. Wirkliche Zahlen sind weder ∞∈ℝ* noch ±∞∈ℝ̅.

Nichtstandard-Ana-lysis

Nicht zu verwechseln mit ℝ* ist der Körper der hyperreellen Zahlen *ℝ. Er enthält infinitesimale und unendliche Zahlen definieren, sodass eindeutig z.B.

α–α = 0, α/α = 1

gilt. Sie lassen sich über Folgen und bestimmte Auswahlkriterien so definieren, dass die Eindeutigkeit immer gegeben ist.

Es gibt in diesem Rahmen nicht nur »unendlich«, sondern gleichsam viele »unendlich«s, mit denen sich rechnen lässt wie mit gewöhnlichen Reellen Zahlen. Ferner hat das Symbol »≈« eine eindeutigere Bedeutung als üblich, nämlich die, dass sich zwei hyperreelle Zahlen nur um einen infinitesimalen Betrag unterscheiden.

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Physikalische Unendlichkeit tritt in jedem Fall bei den Komponenten der Vierergeschwindigkeit eines Lichtsignals auf. Natürlich ist der Betrag (wie bei allem) c, aber die Komponenten enthalten den Lorentz-Faktor

γ = 1/√{1 – (v/c)²},

der bei v=c divergiert. mit Hilfe der Nichtstandard-Ana-lysis kann man sich dahingehend behelfen, dass man die Masse des Photons auf ≈0 statt =0 setzt.

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Es gibt verschiedene Unendlichkeitsbegriffe.

Zunächst mal bei Zahlen:

Man kann den Zahlenstrahl (reelle Zahlen) durch -∞ und +∞ nach unten und oben "abschließen". Rechnen sollte man mit diesen Elementen nicht, nur als Vergleichselemente heranziehen.

In der Funktionentheorie nimmt man nur ein Element ∞ ohne Vorzeichen, um Polstellen und reguläre Stellen gleich behandeln zu können. Hierzu braucht man ein Element, das 1/0 entspricht. Hier ist zwar 1/∞ = 0, aber sonst sollte man nicht mit diesem Element rechnen.

Dann in der Geometrie:

Man kann eine euklidische Ebene durch eine "Ferngerade" / "unendlich ferne Gerade" abschließen; jede Gerade wird durch einen "Fernpunkt" erweitert, und alle Fernpunkte bilden die Ferngerade. Parallele Geraden haben den Fernpunkt gemeinsam. Für jede Gerade einzeln entspricht die Hinzunahme des Fernpunktes der Hinzunahme des (einen) Elementes ∞ bei den reellen Zahlen.

Entsprechendes auch für die eindimensionale, dreidimensionale, vierdimensionale, ... euklidische Geometrie.

Bei "hyperbolischen" Ebenen geht die Geometrie "hinter" der "unendlich fernen" Geraden weiter.

Dann in der Mengenlehre:

Hierzu hat gilgamesch4711 schon das wichtigste gesagt. Hinzufügen kann ich noch, dass es hier mehr Unendlichkeiten gibt als es reelle Zahlen gibt, sogar mehr wesentlich voneinander verschiedene Unendlichkeiten, als es reelle Zahlen gibt. Die Unendlichkeiten passen sogar nicht einmal in eine Menge.

Siehe aber auch "Intuitionismus", der solche abstakten Konstrukte ablehnt - man kann danach nicht einfach sagen "es muss so was geben", sondern muss angeben, wie man es konstruieren kann. HIernach kann man nur sagen, dass man keine Obergrenze z. B. der natürlichen Zahlen angeben kann, aber eine Unendlichkeit fassen und mit ihr sinnvoll arbeiten kann man nicht.

In der Physik:

Es ist denkbar, dass das Universum sich unendlich lange unendlich weit ausdehnt. Insofern kann es hier also Unendlichkeit geben.

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Mathematisch gesehen ist eine Menge M unendlich, wenn es kein n aus den natürlichen Zahlen gibt, sodass gilt: |M|=n

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Die Anzahl der natürlichen Zahlen oder der reellen Zahlen ist unendlich.
Sogar die Anzahl der reellen Zahlen zwiechen 0 und 1 ist unendlich ;-)


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Also unendlich gibt es zum Beispiel unendlich viele Wiederholungen zahlen usw... 100%sicher.   So Definition von mir grenzenlose.    Hoffe konnte dir weiterhelfen MfG Alvercard 

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- es gibt unendlich viele Zahlen
- irrationale Zahlen + Zahlen mit periodischen Brüchen haben unendlich viele Nachkommastellen

- Universum, es muss ja immer weiter gehen, selbst wenn das Universum irgendwo vorbei wäre, müsste ja irgendwas dahinter sein

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Der Umfang bzw. die äußere Begrenzung eines Kreises ist unendlich.                  Als "unendlich" definiert sich für mich daraus der Zustand aus dem unser Universum entstanden sein dürfte, weil es logischerweise keinen absoluten ANFANG und kein absolutes ENDE des Universums geben kann.           Sonst wären wir nicht/niemals im JETZT und nicht/niemals im SEIN. Sämtliche Basisvoraussetzungen würden andernfalls niemals im JETZT - DA - SEIN.           D.h. in bzw. von einem unendlichen Zustand heraus dürfte ALLES aus     einem sich erweiterndem multiversellen Kreislauf aller Dinge geschehen.                           DIE Frage dabei ist für mich, ob die UNENDLICHKEIT dabei evtl. sogar ständig wieder in ihren exakten URZUSTAND des Kreislaufs zurückfindet ?

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Kommentar von SlowPhil
12.09.2016, 06:13

Der Kreisumfang hat zwar keinen absoluten Anfang, kein absolutes Ende, aber er ist

nicht

unendlich.

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Unendlichkeit ist auf jeden Fall existent. Ob es in der Realität aber etwas unendliches gibt ist wieder eine andere Frage. Theoretisch gibt es ja schon unendlich viele Beispiele für Unendlichkeit. 

Der menschliche Verstand kann sich der Unendlichkeit aber nur annähern (wenn überhaupt), ist in keinster Weise in der Lage sich Unendlichkeit wahrhaft vorzustellen.

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Es gibt unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten.

Aber nur Mathematiker verstehen, inwiefern das so ist und wie sich diese Unendlichkeiten von einander unterscheiden.

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Es gibt keine unendlichkeit. Das Universum ist endlich, der raum, in dem es sich befindet (es gibt sehr wahrscheinlich einen ) ist endlich und außerhalb davon kommt entweder noch ein raum oder einfach nichts, wo kein Stoff existieren kann

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Kommentar von SlowPhil
12.09.2016, 06:29

Wenn das Universum endlich ist, ist es in sich geschlossen und kann quasi umrundet werden. Anderenfalls wäre nur der materieerfüllte Raum endlich und von einem unendlichen leeren Raum umgeben, den man im Grunde ebenfalls zum Universum gehörte.

Im Übrigen gibt es Unendlichkeit in der Mathematik, allein schon dadurch, dass es keine größte natürliche Zahl gibt.

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Kommentar von ScoreMagnet
12.09.2016, 07:57

1. das universum besitzt tatsächlich einen "rand" allerdings kann man diesen nicht erreichen, da das Universum schneller expandiert, als man sich fortbewegen kann. Und nein, der unendlich Lehre Raum hat einige unterschiede: -es muss kein Raum sein. Auch, wenn es schwer vorstellbar ist, kann es durchaus einfach nicht existent sein, sodass man sich dort nicht befinden kann und wäre somit kein raum. 2. man kann nicht wissen, ob die zahlen unendlich sind. Nur weil man keine Obergrenze kennt, heißt das nicht, dass es unendlich weitergehen MUSS. Die negativen Zahlen z.B sind ja nur gedacht und nicht existent, es existiert also eine Untergrenze, es KANN aber auch eine Obergrenze geben, die nur noch nicht bekannt ist. Das begründe ich mit Folgendem : Alles andere ist endlich. Es gibt eine maximale Geschwindigkeit, die nicht überschreitet ist, es gibt eine aktuelles "ende" des Universums, es gibt eine begrenzte Anzahl Teilchen und Atome, auch wenn ihre Anzahl uns unendlich erscheinen mag. Auch zeit ist nicht unendlich. Die Zeit existiert in diesem Universum wahrscheinlich durch den Urknall. Einige Wissenschaftler meinen jetzt, die zeit könne flüssig sein, also ist sie wahrscheinlich auch eine Art stoff, mit dem wir zwar in kleinster weise interagieren können, uns aber in ihm befinden. sie wird wahrscheinlich auch irgendwann einmal vorbeisein. Wieso sollten die Zahlen also unendlich werden können bar weil wir uns nichts anderes vorstellen können? Vll sagen die Kinder in 1000 jahren: papa, wie könnten die Menschen früher so dumm sein und glauben, es gäbe unendlich viele zahlen, so wie wir von Dingen wie zb "die Erde ist flach" denkeb

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Mein Mathelehrer hat immer gesagt, dass man darüber nicht nachdenken soll, weil man sonst in der Psychiatrie landet. :D
Weise Worte von einem alten Mathelehrer. xD

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Kommentar von grtgrt
11.09.2016, 22:36

Ganz so ist es nicht. Die Mathematik kann mit Unendlichkeiten wirklich sehr gut umgehen.

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Kommentar von raphi0901
11.09.2016, 22:41

Ergibt aber nie eine Zahl. Un. - Un. = Un. Aber keine Zahl.

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Kommentar von SlowPhil
12.09.2016, 06:56

Dann will ich Dich mal auf einen neueren Stand bringen: Neben der bekannten Unendlichkeit ∞ und den unendlichen Kardinalzahlen ab ℵ₀ gibt es noch die unendlichen Nichtstandardzahlen, deren Kehrwerte die - durchaus von 0 verschiedenen - infinitesimalen Zahlen sind. Sie werden über Folgen definiert. Die oft mit Unendlichkeiten auftretenden Probleme treten hier nicht auf, denn jede unende Zahl verhält sich in jeder Hinsicht wie eine stinknormale reelle Zahl, abgesehen davon, dass sie unendlich ist.

Das erste konsistente Konzept der Nichtstandardana-lysis wurde 1961 von Abraham Robinson entwickelt.

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Unendlichkeit, ist etwas was niemals endet. Ich denke das beschreibt es schon ganz gut. 
Es gibt meiner Meinung nach nichts unendliches, man kennt nichts oder kann nicht behaupten, dass es etwas unendlich lange existiert, unendlich groß ist usw. Zumindest nicht mit 100% Sicherheit.

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Für Endlichkeit brauchst Du 2 Punkte, Anfang und Ende.
Fehlt Dir ein Punkt ist das Ergebnis zunächst unendlich.

Hättest Du bezogen auf das Universum beide Punkte, wäre die Veranstaltung zu Ende.

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Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.

Beweis:

Angenommen, die Menge der natürlichen Zahlen N ist endlich, dann gibt es eine größte natürliche Zahl x € N. Nach den Peano-Axiomen ist aber der Nachfolger x' = x+1 größer als x, was der Aussage, dass x bereits die größte natürliche Zahl ist, widerspricht. Daher ist N unendlich groß.

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Der Tod - er ist unendlich lang vorhanden, wird niemals enden.

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Kommentar von ScoreMagnet
12.09.2016, 07:59

Das weißt du nicht, ich bin zwar auch dieser ansicht, aber wie willst du ein weiteres geistiges existieren widerlegen?

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Unendlich ist Etwas, wenn es immer ist, also z.B Energie, oder anfängt und nicht aufhört, wie Pi .... 3,14150465359 .... usw.

Und daß Pi unendlich so weiter geht, daß lässt sich sogar beweisen:

https://books.google.de/books?id=fKhEAAAAcAAJ&pg=PA156#v=onepage&q&f=false

Ist halt so eine Sache mit Unendlichkeiten, denn im Prinzip ließe sich jedes erdenkliche Wissen, Lektüre usw.  kodiert in dieser irrationalen Zahl finden.

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Kommentar von SturerEsel
12.09.2016, 15:24

Pi = 3,141592653 ...

Sorry. :)

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