Frage von CarinaKo, 89

Was ist eine Partition, Familie, Quotientenmenge in der Mengenlehre?

Hallo :)
In meinem Mathe Buch ist Partition, Familie und Quotientenmenge sehr kompliziert beschrieben 🙈 daher kann ich mir nichts darunter vorstellen
Kann mir vielleicht jemand ein paar Tipps geben? :)
Lg und danke!

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 64

Eine Partition ist eine disjunkte Zerlegung einer Menge. Das ist eine Aufteilung einer Menge in Teilmengen, und zwar so, dass alle Elemente der Menge erfasst werden und kein Element in zwei Teilmengen enthalten sind.

Beispiel:

M = {1,2,3,4,5,6,7}

A_1 = {1,2,5}, A_2 = {7}, A_3 = {3,4,6}

Eine Familie ist so etwas wie eine "Durchnummerierung" dieser Teilmengen. "Durchnummerierung" steht hier in Anführungszeichen, weil das nur für endliche (schlimmstenfalls abzählbar unendliche) Indexmengen wirklich eine Nummerierung ist.

Hier: 1 -> A_1, 2 -> A_2, 3 -> A_3

Eine Quotientenmenge ist letztlich nichts anderes als eine Menge von solchen Teilmengen. Der Quotientenmenge ist diejenige Abbildung zugeordnet, die jedes Element e_i aus M auf jeweils dasjenige A_j aus der Partition abzubilden, das e_i enthält (also die Familie).

Hier: {A_1, A_2, A_3}

Der Begriff "Quotientenmenge" kommt daher, dass die Teilmengen, in die man die Ausgangsmenge zerlegt, in vielen Anwendungen gleichviele Elemente enthält. Die Anzahl der Elemente der Ausgangemenge geteilt durch die Anzahl der Teilmengen ist dann die Anzahl der Elemente je Teilmenge.

Beispiel1:

M = {1,2,3,4,5,6}

A_1 = {1,3,5}, A_2 = {2,4,6}  (aufgeteilt nach gerade/ungerade)

Beispiel 2:

M = {1,2,3,4,5,6}

A_1 = {1,4}, A_2 = {2,5}, A_3 = {3,6}  (aufgeteilt nach Rest bei Division durch 3)

Kommentar von CarinaKo ,

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) und auch dafür dass Sie mir schon so oft geholfen haben

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