Frage von Libastyle, 56

Äquivalenzrelation, Transitiv bei 2 Elementen?

Hallo habe die Relationen {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} Wie soll ich bei den Relation auf Transitivität prüfen, wenn es kein drittes Element gibt.

Transitivität: a=b und b=c -> a=c

ich hab aber nur a und b ._.

Danke

Antwort
von HeniH, 21

Das was Du als Relationen bezeichnest ist eigentlich eine Menge:
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

Diese Menge könnte von dem kartesischen Produkt A x A stammen, wobei A eine Menge mit den Elementen {1; 2} ist.

Kannst Du vielleicht den genauen Wortlaut der Aufgabe niederschreiben?

LG,

Heni

 

Kommentar von Libastyle ,

Genau, die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die menge M = {1,2}.

Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?

Mittlerweile habe ich herausgefunden, das es 16 Relationen gibt, ist das Korrekt?

Kommentar von HeniH ,

So weit so gut! Aber dann wie kommst Du von selbst auf das kartesische Produkt? Werden Dir mehrere Relationen gegeben und Du sollst entscheiden welche Äquivalent sind und welche nicht?

Falls "ja", welche Relationen hast Du (bitte alle aufschreiben)?

Antwort
von kreisfoermig, 2

Dein DENKFEHLER: Du interpretierst die formale Sprach schlichtweg falsch. Nur weil man 3 verschiedene Buchstaben verwendet, bedeutet nicht, dass die Werte, die ihnen zugeordnet werden, paarweise verschieden sind. Die Aussage ist seien a,b,c ∈ X mit (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R, so gilt (a,c) ∈ R. Hierbei betrachte man bloß alle Möglichkeiten für a,b,c ∈ M, das sind im Falle M={1;2}

a=1; b=1; c=1; oder
a=1; b=1; c=2; oder
a=1; b=2; c=1; oder
a=1; b=2; c=2; oder
a=2; b=1; c=1; oder
a=2; b=1; c=2; oder
a=2; b=2; c=1; oder
a=2; b=2; c=2.

Dein Problem kannst du übrigens wie folgt prüfen: die Relation in diesem Falle ist die triviale Relation R = M x M (das volle kartesische Produkt). In dieser Relation ist alles drin, sodass auf jeden Fall der Teilausdruck rechts in

∀x,y,z∈M:   (x,y)∈R & (y,z)∈R ⟶ (x,z)∈R.

trivialerweise immer erfüllt, sodass die ganze Aussage erfüllt ist, d. h. das Axiome Transivitität gilt trivialerweise. Analog gilt Symmetrie

∀x,y∈M:   (x,y)∈R ⟶ (x,z)∈R.

trivialerweise. Das Axiom Reflexitivität

∀x∈M: (x,x)∈R.

gilt, weil R alle Paar enthält und somit insbesondere (x,x) für alle x∈M.

Antwort
von polygamma, 38

Du solltest einmal genau überlegen, was hier die Elemente sind.

Kommentar von Libastyle ,

Ich weiß gar nicht was du meinst, meine Elemente sind doch 1 und 2

Kommentar von polygamma ,

Die Elemente deiner Relation sind nicht 1 und 2, sondern 

(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)

Das ist ein Unterschied. Außerdem ist das = Zeichen hier nicht clever gewählt, da dieses die Gleichheitsrelation impliziert. Es wäre besser zu schreiben, dass gilt:

1 ~ 1, 1 ~ 2, 2 ~ 1 und 2 ~ 2

Da du hier die Relation explizit gegeben hast, solltest du wirklich einfach alle Fälle händisch überprüfen, um zu zeigen, dass die Relation transitiv ist.

Kommentar von Libastyle ,

Ich verstehe das nicht, hatte es noch nie das Tupel als Elemente benutzt wurden.

Kannst du mit einen weiteren Tipp geben?

Kommentar von Libastyle ,

Hätte ich 3 Elemente würde ich das verstehen, aber nun habe ich nach deiner Antwort 4 Elemente..

Kommentar von polygamma ,

Die Relation selbst beinhaltet 4 Elemente, ja.

Und es bedeutet in deinem konkreten Fall:

1 steht in Relation zu 1,

1 steht in Relation zu 2,

2 steht in Relation zu 1 und

2 steht in Relation zu 2.

Wir machen es jetzt mal clever mit der Transitivität - über einen Widerspruch. Angenommen die Relation ist nicht transitiv, dann gibt es Elemente a, b und c aus der Grundmenge der Relation, sodass gilt: a steht in Relation zu b, b steht in Relation zu c und a steht nicht in Relation zu c. Es gibt genau 2 verschiedene Elemente der Grundmenge innerhalb der Relation (1 und 2). Bei 2 verschiedenen Elementen kann es überhaupt nur 4 verschiedene Beziehungen zwischen den Elementen geben, und die Relation beinhaltet 4 Elemente aka 4 Beziehungen. Damit kann es insbesondere nicht "a steht nicht in Relation zu c" geben. q.e.d.

Du solltest dir noch einmal ganz genau anschauen, was eine Relation überhaupt ist, was die Elemente einer Relation sind, was eine Grundmenge einer Relation ist und was die Elemente der Grundmenge einer Relation sind.

Kommentar von Libastyle ,

Also ist es nicht transitiv und da aus falschem Wahres folgt, ist es eine Äquivalenzrelation? :D

Kommentar von polygamma ,

Nein, komplett falsch. Sie ist transitiv. Das wurde über einen Widerspruch gezeigt. Es wurde angenommen, dass sie nicht transitiv ist, das hat einen Widerspruch erzeugt, also muss die Relation transitiv sein.

Kommentar von Libastyle ,

hilft mir leider nicht, aber danke 

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community