Frage von CarinaKo, 163

Urbild und Bild einer Menge bestimmen - wie komme ich auf diese Ergebnisse?

Hallo Leute :)
Kann mir jemand helfen ... Hab bald Prüfung und verstehe nicht wie man das Bild und Urbild bildet :/
Ich hab eine Foto angehängt ... Wäre sehr lieb wenn ihr mir dass Beispiel 4.3.13 erklären könntet :)
Bei zweiten Foto sieht man meine Rechnung bei der de Ergebnisse allerdings nicht stimmen
Lg

Antwort
von Roach5, 112

Ok eine nützliche Sache vorweg: f(x) = x² stetig und insbesondere Monoton steigend wenn x >= 0 und monoton fallend, wenn x < 0.

Das bedeutet, dass f([a,b]) = [a²,b²], wenn a und b beide größer 0, und f([a,b]) = [b²,a²], wenn a und b beide kleiner als 0 (hier muss man b² und a² umdrehen weil dann b² < a².

Daraus folgt unmittelbar, dass f^(-1)[a,b] = [√(a),√(b)]U[-√(b),-√(a)], wenn a und b beide nichtnegativ sind. Bei offenen Mengen analog.

Das Bild der Menge ]-1,1] ist also das Bild von ]-1,0] (das ist [0,1[) vereinigt mit dem Bild von [0,1] (das ist [0,1]), also [0,1].

Das Urbild der Menge [-4,4] ist das Urbild von [-4,0] vereinigt mit dem Urbild von [0,4], das ist {0} (da alle negativen Werte nicht getroffen werden, also hat nur 0 das Urbild 0) vereinigt mit [0,√4] vereinigt mit [-√4,0], also insgesamt [-2,2]. Jetzt alles verstanden?

Um per Hand andere Urbilder auszurechnen, z.B. das Urbild von y bezüglich f, dann löst du f(x) = y nach x auf, das ist dann das Urbild.

LG

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