Was ist die letzte Ziffer von 3715290469715693021198967285016729344580685479654510946723 hoch 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651?
Frage steht 1:1 im Titel.
Ich habe keine Ahnung. Es sollte dafür denk ich Regeln geben, sowas wie die Zahlen sind beide ungerade, deshalb kann die letzte Ziffer von a hoch b nur x sein.
Nennt mit bitte eure Ideen, einen Weg, die letzte Ziffer zu ermitteln ohne die Zahlen miteinander zu potenzieren.
5 Antworten
Wenn man 2 Zahlen a und b miteinander multipliziert, dann wird die letzte Ziffer des Ergebnisses nur von den letzten Ziffern von a und b beeinflusst.
Du kannst das Ganze also schon mal vereinfachen zu
3 hoch 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651
Damit weißt du, dass nur die Ziffern 3, 9, 7 und 1 in Frage kommen.
Als nächstes siehst du, dass der Exponent ungerade ist. Daraus ergibt sich dann, dass das Ergebnis nur 3 oder 7 sein kann.
3^1 = 3 -> 3
3^2 = 9 -> 9
3^3 = 27 -> 7
3^4 = 81 -> 1
usw.
3^5 -> 3
3^6 -> 9
3^7 -> 7
3^8 -> 1
Das Ganze geht immer im Kreis. 3,9,7,1,3,9,7,1, usw.
Bei geraden Exponenten kommt immer eine 9 oder 1 raus.
Es kommt immer zyklisch 9, 7, 1 und 3 raus. 7 und 3 bei ungeradem Exponenten, 9 und 1 bei geradem. Jetzt kommt es nur noch darauf an, ob der Exponent durch 3 teilbar ist oder nicht.
Was willst du denn über Teilbarkeit durch 3 herausfinden? Man müsste doch bei ungeradem Exponenten "2k + 1" herausfinden, ob k gerade oder ungerade ist. Oder täusche ich mich?
Stimmt, das mit der Teilbarkeit durch 3 war nicht richtig. Danke.
Richtig ist folgende Überlegung: Da zyklisch immer 3, 9, 7 und 1 herauskommt und nur 7 und 3 in Frage kommen, kommt es darauf an, ob (Exponent mod 4) = 1 oder = 3 ist. Im ersten Fall wäre 3 die Lösung, im zweiten Fall 7. (Exponent mod 4) ist aber = 3, da (Exponent - 3) durch 4 teilbar ist, denn (Exponent - 3) hat die Endziffer 8. (Exponent - 1) dagegen hat die Endziffern 50, was nicht durch 4 teilbar ist. Also ist 7 die Lösung.
Das ist Sehr gut, nur brauche ich einen Weg, ein definitives Ergebnis zu erhalten. Ich brauche das Ergebnis, da ich weiß, dass es 7 ist, nur ich nicht weiß wie ich genau auf die 7 komme.
Wenn du von der Zahl 3 abziehst, erhältst du als letzte Ziffer eine 8 und die ist durch 4 teilbar. Ziehst du dagegen nur 1 ab, dann hast du eine 0 und die ist lediglich durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. Folglich kann die Lösung nur 7 sein.
Dass die letzte Ziffer von der Potenz nur von der letzten Ziffer der Basis abhängt, kann man aus dem Binomischen Lehrsatz ableiten.
Wenn man (10a + b)(10a + b)(10a + b)...(10a + b) ausmultipliziert, ist nur der Summand, den man erhält, wenn man in jeder Klammer b auswählt, nicht notwendigerweise durch 10 teilbar. Die Zahl (10a + b)ⁿ hat also dieselbe Endziffer wie bⁿ.
In diesem Fall ist b = 3.
Berechnen wir bⁿ für n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}:
3⁰ = 1
3¹ = 3
3² = 9
3³ = 27
3⁴ = 81
Wir sehen, die Endziffer 1 wiederholt sich beim vierten Mal. Das heißt, wenn n durch 4 teilbar ist, ist die Endziffer auch wieder 1, denn wenn n = 4k, kann man schreiben 3ⁿ = 3⁴ᵏ = 81ᵏ und wie wir bereits gesehen haben, ist die Endziffer von (80 + 1)ᵏ gleich 1ᵏ = 1.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist. In dem Fall hätte die nächstkleinere durch 4 teilbar Zahl die Endziffern 48 und die Endziffer von der Potenz wäre dann 1. Jetzt muss man nur noch 3³ multiplizieren. Die Endziffer der gesamten Potenz ist somit 7.
Genial, für mich sogar etwas zu genial. Dennoch kann ich das noch knapp nachvollziehen, vielen dank.
Damit ich die Zahlen nicht allzu oft ausschreiben muss definiere ich...
a = 3715290469715693021198967285016729344580685479654510946723
i = 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651
Gesucht ist nun (im Dezimalsystem) die letzte Ziffer von aⁱ.
Die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem ist gleich dem Rest bei Division durch 10. Gesucht ist also:
=============
Nun würde ich zunächst den Satz von Euler nutzen.
Es ist...
Für jede natürliche Zahl a mit ggT(a, 10) = 1 ist nun...
[Die Bedingung ggT(a, 10) = 1 ist im konkreten Fall offensichtlich erfüllt, da a nicht 0, 2, 4, 8 oder 5 als Endziffer hat, also nicht durch 2 oder 5 teilbar ist, wobei 2 und 5 die Primfaktoren von 10 sind.]
Damit erhält man dann weiter...
Wegen
erhält man...
Des Weiteren ist...
Dabei ist a mod 10 gleich der letzten Ziffer von a, also gleich 3.
Damit erhält man dann...
Ergebnis: Die gesuchte Ziffer ist 7.
51 mod 4 ist 3 und nicht 1, denn 50 ist nicht teilbar durch 4, ansonsten passt's!
Kann schon mal nur 3, 9, 7 oder 1 sein, denn 3*3=9, 9*3=27, 7*3=21, 1*3=3. Der Exponent ist ungerade, also kommt nur 7 oder 3 in Frage.
Wie kommst du auf 9*3, 3*3, 7*3 und 1*3? Warum diese Zahlen und nicht keine Ahnung sowas wie 3*4?
Wenn Du die 3 immer wieder mit sich selbst multiplizierst, kommt als letzte Ziffer immer eine 9, 7, 1 oder 3 raus.
Ich glaube es wird so gehen:
Guck ob der Exponent durch 2, 3, 4 und 5 teilbar ist. Falls alles nicht zutrifft, so ist er vielleicht durch 7 teilbar.
Die Basis hat eine 3 am Ende. Zahlen mit der 3 am Ende ergeben mit sich selbst multipliziert in der letzten Ziffer zyklisch eine 3, 9, 7 und 1.
Das sollte schon in die richtige Richtung führen.
Und wenn der Exponent gerade wäre? Oder anders wieso ausgerechnet die Zahlen 3 und 7?