Was ist der Unterschied zwischen einer Matrix und einem Vektor?
Hallo ihr Lieben, zurzeit haben wir an der Uni Matrizen aber ich bin einfach in Mathe sehr schwer von Begriff und obwohl wir Matrizen in der Schule hatten, und das Thema weitesgehend in Ordnung war, habe ich immer noch nicht grundlegend verstanden, worin genau der Unterschied zwischen einem Vektor und einer Matrix liegt. Kann mir das vielleicht jemand ausführlich erklären? :(
2 Antworten
Hallo,
eine Matrix ist einfach ein rechteckiges Schema, in dem Werte oder Zahlen so aufgelistet sind, daß Du jede Zahl oder jeden Wert darin mit der Angabe von Zeilennummer und Spaltennummer eindeutig bezeichnen kannst.
Beispiel:
Matrix
1 2 a
-3 b 0
-1 2 3
4 a 3+b
Diese Matrix besteht aus vier Zeilen und drei Spalten; es handelt sich also um eine 4x3 (4 mal 3)-Matrix
Bei jeder einzelnen Zeile oder Spalte handelt es sich um einen Vektor.
Ebenso, wie es bei Vektoren der Fall ist, gelten auch bei Matrizen besondere Rechenregeln. Wenn Du z.B. zwei Matrizen addierst, kannst Du das nur komponentenweise tun.
So kannst Du den Wert aus der zweiten Zeile und der dritten Spalte der ersten Matrix (im Beispiel wäre das die 0) nur zum Wert aus der zweiten Zeile und dritten Spalte einer zweiten Matrix addieren.
Logischerweise funktioniert das nur, wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben.
Bei der Multiplikation zweier Matrizen reicht es, wenn die erste Matrix genauso viele Spalten hat, wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt.
Die Produktmatrix der beiden hat dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix, die miteinander multipliziert werden.
Im Gegensatz zur Addition gilt bei der Multiplikation das Kommutativgesetz in der Regel nicht.
Wenn Du Matrizen mit einer Zahl oder einer anderen Konstante multiplizierst, kannst Du das tun, indem Du jeden einzelnen Wert darin mit dieser Konstanten multiplizierst.
Wenn Du die Beispielmatrix etwa mit 2 multiplizierst, bekommst Du folgende Matrix heraus:
2 4 2a
-6 2b 0
8 2a 6+2b
Mit Hilfe von Matrizen lassen sich Gleichungssysteme recht bequem lösen.
Du läßt einfach die Variablen weg und schreibst die jeweiligen Ergebnisse in die letzte Spalte.
Außerdem sorgst Du dafür, daß die Koeffizienten gleicher Variablen untereinander stehen.
So wird aus dem Gleichungssystem
2x+3y+z=4
3x-y+4z=2
x+2y-2z=-1
die Matrix
2 3 1 4
3 -1 4 2
1 2 -2 -1,
die z.B. so gelöst werden kann (wenn sie lösbar ist), daß in der letzten Zeile zwei von den ersten drei Werten gleich 0 sind, so daß der dritte direkt bestimmt werden kann; in der zweiten Zeile ein Wert gleich Null, so daß nach Einsetzen des einen bekannten Wertes auch der zweite bestimmt werden kann.
Der dritten Wert wird mit Hilfe der ersten Zeile bestimmt, in dem die beiden bekannten in die Gleichung eingesetzt werden (Gauß-Verfahren).
Eine Matrix dient dazu, komplexe Zusammenhänge auf relativ einfache Art anschaulich zu machen und berechnen zu können,
Herzliche Grüße,
Willy
Ein Vektor hat entweder nur eine Spalte oder eine Zeile. Der Vektor ist ein Spezialfall einer Matrix, nämlich einer 1xn bzw nx1-Matrix