Was bedeutet in der Mathematik Complex Inifinity?
Auf deutsch heißt das ja Komplexe Unendlichkeit. Wenn ich bei meinen Rechner zum Beispiel 1:0 eingebe kann ich mit den Begriff nicht definiert, eher was anfangen. Also wie ist dann das zu verstehen, wenn dann kommt Komplexe Unendlichkeit?
2 Antworten
Hallo tilp11,
ich kannte das Wort "Komplexe Unendlichkeit" bisher unter dem Namen "Punkt ∞" oder "uneigentlicher Punkt".
Es ist ein Pol (z.B. der "Nord"pol) der RIEMANNschen Zahlenkugel, durch den alle Geraden für die Stereographische Projektion von der GAUßschen Zahlenebene auf die Kugel.
Diese hat den Radius 1 und liegt so, dass die GAUßsche Zahlenebene in ihrer Äquatorialebene liegt. Die Projektionsgerade verläuft durch den uneigentlichen Punkt und den Punkt in der Ebene, der eine bestimmte Komplexe Zahl
(1) ζ = x + i∙y = r∙cos(φ) + i∙r∙sin(φ) = r∙ei∙φ
repräsentiert. Zusätzlich schneidet sie auch die Kugel in einem weiteren Punkt, der ζ auf der Kugel repräsentiert (ich schreibe 'ζ' statt 'z'), weil die zur Ebene senkrechte Achse schon z- Achse heißt).
Für die 0 ist die Projektionsgerade gerade die z- Achse; sie schneidet die Ebene im Ursprung und die Kugel außer im Nordpol auch im Süpol, der daher die 0 auf der Kugel darstellt.
Sämtliche Geraden, die die Kugel nur berühren und zur Ebene parallel verlaufen, lassen sich als Projektionsgeraden für ∞ auffassen.
Kehrwerte liegen einander auf den Halbkugeln gegenüber, was dazu verleitet, in ∞ den Kehrwert von 0 zu sehen. Diese Interpretation ist jedoch Quatsch, denn nicht die Unendlichkeit eines eventuellen Kehrwerts von 0 ist der Grund dafür, dass man nicht durch 0 teilen kann, sondern die Tatsache, dass die 0 der große Plattmacher unter den Zahlen ist:
(2) 0∙ζ = 0 ∀ ζ ∈ ℂ
Teilt man 0/0 oder multipliziert man ∞∙0, könnte man jedes ζ ∈ ℂ als Ergebnis nehmen.
Eine komplexe Zahl kann man darstellen durch Betrag und Winkel - auch Argument genannt.
ist der Betrag unendlich und das Argument bekannt spricht man von Directed Infinity
ist der Betrag unendlich und das Argument unbekannt spricht man von Complex Infinity
Guten Abend! Das ist mir noch zu hoch. Zu viel ich weiß der Zahlenbereich der Komplexen Zahlen umfasst ja den Zahlenbereich der reellen und imaginären Zahlen zusammen die Komplexen Zahlen.
Also wie lässt sich 1 in Betrag und Winkel darstellen? Oder wenn Du die imaginären Zahlen nur meintest wie kann ich dann die Quadratwurzel aus minus 4 darstellen aus Betrag und Winkel?
nehme mal die Schreibweise z = (r, φ)
dann
1 = (1, 0) hat ja nur positiven Realteil daher φ = 0 in der Gauß'schen Zahlenebene
√-4 = 2i = (2, π/2) hat nur positiven Imaginärteil daher φ = π/2 in der Gauß'schen Zahlenebene
hier kannst du dir verschiedene Zahlen anschauen auch in der Gauß'schen Zahlenebene:
Zu viel ich weiß der Zahlenbereich der Komplexen Zahlen umfasst ja den Zahlenbereich der reellen und imaginären Zahlen zusammen die Komplexen Zahlen.
Nicht nur die Reellen Zahlen und die Imaginären Zahlen (das wäre nur das "Gerippe"), sondern auch jede beliebige Summe einer Reellen und einer Imaginären Zahl der Form
z = x + iy,
wobei i die Imaginäre Einheit ist: i² = −1. Dabei heißt x der Realteil und y – nicht iy – der Imaginärteil von z.
Allerdings lässt sich z auch als
|z|∙e^{i∙φ} =: r∙e^{i∙φ}
schreiben. Dabei heißt φ das Argument von z.
Guten Morgen!
Scheint ja alles ganz gut zu sein.
Was mir aber gleich Unklar ist z=x+yi. Da ist doch z auch wieder bestimmt eine imaginäre Zahl. Oder nicht? Ich meine, wenn ich 1/4 +2 rechne, eine ganze Zahl + eine gebrochene Zahl ist doch immer eine rationale Zahl. In meinen Fall speziell eine gebrochene Zahl.
Also wie so ist das dann nur das Gerippe? Weil ich sagte, der Zahlenbereich der Komplexen umfasst den Bereich der reellen- plus imaginären Zahlen.
Was mir aber gleich Unklar ist z=x+yi. Da ist doch z auch wieder bestimmt eine imaginäre Zahl.
z ist eine Komplexe Zahl, die Summe aus einer Reellen und einer Imaginären Zahl.
Sie ist genau dann eine Imaginäre Zahl, wenn x=0 ist, und genau dann eine Reelle Zahl, wenn y=0 ist.
Du kannst Dir das als Ebene vorstellen, die GAUßsche Zahlenebene. Die Achsen sind die Reelle Achse und die Imaginäre Achse – das ist das "Gerippe". Die Komplexen Zahlen umfassen nicht nur die Achsen, sondern die gesamte Ebene.
Guten Morgen Philip,
wenn ich das doch wenigstens etwas verstehe. Sehe ich das dann richtig? Wenn ich bei meinen Rechner 1:0 eingebe und dann kommt. Complex infinity. Ist Quatsch. Es wäre besser es würde kommen nicht definiert.