Was hat es mit der Wheel Theory (Mathematik) auf sich?
Es handelt sich hierbei um eine noch recht neue Formulierung einer algebraischen Struktur, die man im englischen als Wheel bezeichnet. Leider komme ich nicht ganz dahinter, was sie eigentlich ist und was sie bedeutet. Daher frage ich hier einige Experten, die sich vielleicht mal damit auseinandergesetzt haben und mehr wissen.
Auch interessiert es mich, ob es dafür eine deutsche Entsprechung gibt. Für den englischen Begriff "field theory" sagen wir ja im deutschen Körpertheorie. Wird also im deutschen der Begriff "wheel" wortwörtlich als "Rad" übersetzt oder gibt es auch hier einen anderen Begriff?
4 Antworten
Eine deutsche Entsprechung kenne ich auch nicht, würde es im Deutschen aber auch einfach Wheel nennen. Nachdem der Begriff im Vergleich zu den üblichen algebraischen Strukturen relativ neu ist, hat sich wohl noch kein deutscher Begriff dafür eingebürgert.
Die Motivation hinter der Definition eines Wheels im Vergleich zu einem Körper ist die Division durch Null, also der Wunsch, eine Struktur zu definieren, in der jedes Element ein Inverses hat - insbesondere auch die Null. Das ist sinnig, weil oft nicht einfach zu entscheiden ist, ob ein Element nicht-null ist und damit ein Inverses hat und man sich damit Fallunterscheidungen spart.
Die algebraische Struktur eines Wheels ergibt sich, wenn man versucht, die rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen zu konstruieren und dabei einen konsistenten unären Operator "/" auf allen Zahlen/Äquivalenzklassen zu definieren (analog zum unären ^-1), den man als "Invertieroperator" verstehen kann und der auch analoge Eigenschaften haben soll. Die Struktur, die sich ergibt, ist aber kein Körper wie man erwarten würde, sondern eine leicht andere Struktur und die nennt man Wheel.
Dabei büßt man aber auch einige eigentlich "klare" Eigenschaften ein, zum Beispiel ist im Allgemeinen nicht mehr 0x=0 und damit nicht unbedingt x - x = 0 oder x/x = 1. Es ist also eine Verallgemeinerung der Struktur eines Körpers mit ähnlichen Eigenschaften und Ausweitung des Invertieroperators auf die Null.
Wheel wird im Englischen aufgrund des Symbols für eine projektive Gerade als Wheel (also Rad) bezeichnet. Daher könnte man das auch im Deutschen so nennen. Besser würde ich da aber bei Wheel bleiben, da die internationale Sprache der Mathematik ja längst bei Englisch (und nicht mehr Deutsch) angekommen ist.
Grundsätzlich ist es "nur" eine algebraische Struktur, in der die zweistellige Verknüpfung (Multiplikation mit dem inversen Element bzgl. der Multiplikation) durch eine einstellige Verknüpfung (/) ersetzt wird.
Dadurch ergibt sich dann auch dass eine "Division durch Null" möglich ist. Bzw. wird aus x^-1 ein /x wobei für x dann auch 0 eingesetzt werden kann.
Was ist denn an
https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
unverständlich? Es geht um eine Menge mit zwei zweidimensionalen Verknüpfungen und einer eindimensionalen , so dass algebraische Eigenschaften erfüllt sind, die im wesentlichen die Gruppen- und Körperaxiome erweitern. Ziel der Erweiterung ist es, auch der 0 etwas ähnliches wie ein multiplikatives Inverses zuzuordnen (die eindimensionale Verknüpfung entspricht nicht vollständig dem Inversen) und damit eine Division durch 0 möglich zu machen. Tiefer will ich mich da nicht reinhängen, da Algebra nicht mein Spezialgebiet ist.
Ein Wheel ist einfach eine andere algebraische struktur