Was bedeuten diese Pfeile in diesem mathematischen Text?
Hallo,
in dem darunterliegenden Beweis befinden sich die Symbole ⟹ und ⇐. Meine Frage ist nun: Welche Bedeutung haben diese Pfeile?
Sind die beiden mit diesem Pfeilen markierten Abschnitte jeweils schon vollständige Beweise? Oder gehören sie zusammen?
Seien V und W Vektorräume über dem Körper K , f: V→W eine lineare Abbildung und B=(b1,…,bn) eine Basis von V. Dann gilt:
f ist injektiv genau dann, wenn die Menge f(B)={f(b1),…,f(bn)} linear unabhängig ist.
Vielen Dank im Voraus!!
4 Antworten
Implikation bedeutet das.
heißt:
wenn du eine Aussage hast wie
A <=>B
(bedeutet: A ist äquivalent zu B bzw. "genau dann wenn A gilt gilt auch B (und umgekehrt))
dann kannst du die beweisen indem du beide Richtungen separat beweist.
Also erst beweist dass auds A B folgt (A=>B)
und dann noch ein Beweis dass aus B A folgt (A<=B).
Anstatt A<=B zu schreiben, schriebt man einfach verkürzt <=
heißt einfach dass man in der ausgangsaussage zeigt dass aus dem rechten das linke folgert.
=> entsprechend die andere Richtung.
Und ja, wenn beide Richtungen gezeigt sind, ahst du damit automatisch auch die Äquivalenz <=> gezeigt :-)
Mach dir das am Besten an einem idiotensicheren beispiel klar:
Beweis mal dass (x=1) <=> (2x=2)
klar ist es offensichtlich aber zum Veranshcaulichen reicht es.
Beweis:
=>
hier wird x=1 vorausgesetzt und es ist 2x=2 zu zeigen.
Also machst du
2x=2*x=2*1=2
beim 2. gleichheitszeichen hast du die Voraussetzung benutzt.
Nun
<=
voraussetzung: 2x=2
zu zeigen:x=1
also beginnen wir mit 2x=2
und multiplizieren beide seiten mit 0.5:
2*x*0.5=2*0.5
2*0.5*x=1
1*x=1
x=1
(übrigens: die vorgenannten zeilen sind alle ööquivalent zueinander, denn wir benutzen !äquivalenzumformungen" (halt die üblichen rechenregeln))
damit hast du <= und =>, damit gilt auch <=>, denn <=> ist sprichwörtlich definiert als
(A<=B)UND(A=>B) :-)
Hinter dem Implikations Pfeil steckt eine "wenn-dann" Aussagen .
Beispielsweise A->B,würde übersetzt bedeuten :
Unter der Voraussetzung das Aussage A wahr ist folgt die Aussage B.Jedoch gilt nicht unbedingt im Umkehrschluß,das B->A.
Angenommen die "Rückrichtung"zu der Aussage A->B,also B->A wäre ebenfalls wahr,dann könnte man die beiden Aussagen als Äquivalent zueinander ansehen und es wie folgt ausdrücken: A<->B
Die Aussage, die es zu beweisen gilt, ist: Injektivität genau dann, wenn lineare Unabhängigkeit.
Der Beweis teilt das in zwei Teile auf, indem jede Richtung der Aussage einzeln bewiesen wird. Der erste Teil (=>) beweist: wenn injektivität, dann lineare Unabhängigkeit. Der zweite Teil (<=) beweist die Gegenrichtung: wenn lineare Unabhängigkeit, dann Injektivität. Aus beiden Teilen zusammen ergibt sich dann die Gesamtaussage.
Das ist ein sehr typisches Vorgehen, um solche "genau dann, wenn"-Aussagen zu beweisen.
Das sind Folgerungspfeile. Der erste sagt, dass aus der linken Seite die rechte folgt, der zweite umgekehrt. Wenn beide gelten, hast du die Äquivalent, also den Pfeil der nach rechts und links zeigt.
Also benötigt man beide Abschnitte für den vollständigen Beweis?