Sujektivität und Injetivität einer Matrix?
Hallo,
laut Wikipedia:
- Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbuuldungsmatrix vollen Spaltenrang hat
- Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungmatrix vollen Zeilenrang hat
was genau hat das zu bedeuten ?
Ich habe nun als Abbidungmatrix z.b.
1 -1 2 -4 8
1 2 -1 5 -7
1 0 3 -3 9
woher weiß ich nun ob meine ausgangsmatrix injektiv oder surjektiv ist?
1 Antwort
Es gibt verschiedene Ansätze. Am einfachsten ist es die Spalten erst als einzelne Vektoren zu betrachten und auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Ist dies gegeben, folgt voller Spaltenrang. Analoges gilt für den Zeilenzeilenrang.
Ferner gilt bei quadratischen martizen: Spaltenrang=Zeilenrang=Rang. Daher kannst du dann auch den Gauss-Algorithmus verwenden um den Rang deiner Matrix zu berechnen (Zeilen-Stufen-Form und Anzahl Zeilen die ungleich null sind ablesen). Dann gilt: Abbildung ist bijektiv bei vollem Rang, sonst weder injektiv noch surjektiv.
In deinem Beispiel sieht das wie folgt aus:
Spaltenrang:
(1,1,1),(-1,2,0),(2,-1,3),(-4,5,-3),(8,-7,9)
Da hier 5 vektoren im R3 sind, sind diese sicher nicht lin. unabhängig, weshalb der Spaltenrang =/= 5 ist und deine Abbildung nicht injektiv sein kann.
Zeilenrang:
mir Gauss:
ZFS:
1, -1, 2, -4, 8
0, 1, -1, 3, -5
0, 0, 2, -2, 6
Daraus folgt: Zeilenrang = 3, also ist der Zeilenrang voll und die Abbildung surjektiv.
Ja, schon. Generell kann man sagen: ist die Matrix mehr breit als hoch, kann sie nur surjektiv sein, und ist sie mehr hoch als breit kann sie nur injektiv sein. bijektiv können also nur quadratische sein. des mit transponieren brauchst du gar nicht, da der rang einer transponierten gleich der rang der untransponierten ist.
Also kann man doch eigentlich auch wenn man die Abbildungs Matrix hat
einmal ganz normal den rang berechnen , wenn die matrix einen vollen rang hat folgt das die matrix surjektiv ist
und einmal transponiert den rang berechnen, wenn die matrix hier einen vollen rang hat ,dann ist diese injektiv
oder?