Unterschied zwischen Relationen,Abbildungen und Funktionen?
Ich würde gerne den unterschied zwischen Relationen,Abbildungen und Funktionen wissen also hinsichtlich ,injektiv und surjektiv. In meiner Klausur werden fragen sein wo ich entweder injektive bzw surjektive Funktionen angeben soll(mit vorgegebner Menge) oder Relationen mit der Frage ob sie Abbildungen sind.
So langsam komm ich durcheinander . Wenns ihr tipps habt wie ich da jeweils am besten vorgehen kann wäre es echt super
1 Antwort
Eine Relation ist eine Teilmenge aus einem n-Stelligem Kreuzprodukt.
Ein Kreuzprodukt aus Mengen ist so definiert, dass wir Tupel bilden, wo an jeder Stelle des Tupels alle möglichen Elemente der jeweiligen Menge stehen.
Z.B.:
A := {1,2}, B:= {3,4,5}, A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}.
Das wäre jetzt ein zweistelliges Kreuzprodukt, und jede Teilmenge aus A x B (inklusive A x B) wäre eine zweistellige Relation.
Relationen können bestimmte Eigenschaften haben.
Eine Relation ist linkstotal, falls für alle Elemente aus A (nennen wir es a) ein Element aus B (nennen wir es b) existiert, sodass (a,b) in dieser Relation ist.
Analog rechtstotal (also andersherum).
Eine Relation ist linkseindeutig, falls jedes Element aus A mit nur einem Element aus B in Relation steht. In unserem obigen Beispiel wäre {(1,3), (2,4)} zum Beispiel eine linkseindeutige Relation.
Analog rechtseindeutig, nur andersherum.
Eine Abbildung ist eine Relation. Es gibt verschiedene Typen von Abbildungen mit bestimmten Kriterien.
Eine partielle Abbildung ist eine rechtseindeutige Relation.
Eine (totale) Abbildung ist eine partielle Abbildung, die linkstotal ist.
Eine injektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die linkseindeutig ist.
Eine surjektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die rechtstotal ist.
Eine bijektive partielle Abbildung ist eine partielle Abbildung, die surjektiv und injektiv ist.
Diese Typen können natürlich auch wieder total sein, dann sind sie linkstotal.
Funktionen und Abbildungen werden zumeist synonym verwendet.
Zusatz:
Eine Relation (Teilmenge aus A x B) ist homogen, falls A = B (also eine Relation aus dem Kreuzprodukt der gleichen Menge).
So ist zum Beispiel A x A eine homogene Relation.
Über homogenen Relationen kann man noch die Eigenschaften "Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität, Reflexivität, Irreflexivität und Liniarität" untersuchen. Doch das sprengt hier den Rahmen.