Surjektiv Injektiv bei Abbildungen?

hey meine mathefreunde, ich stehe bei diesen letzten 2 Aufgaben total auf den Schlauch und komme nicht mehr weiter. Wäre top wenn ihr helfen würdet

Answer 1

[KunXz]

Folgendes sollte klar sein

$A\ \subset B\ \Rightarrow\ f\left(A\right)\ \subset f\left(B\right)$

also

$A\ \cap B\ \subset A\ ;\ A\ \cap B\ \subset B\ \Rightarrow\ f\left(A\cap B\right)\ \subset f\left(A\right)\ ;\ f\left(A\cap B\right)\ \subset f\left(B\right)\ \Rightarrow\ f\left(A\cap B\right)\ \subset f\left(A\right)\ \cap f\left(B\right)$

zu (c):

die Umkehrung gilt auch, aber eben nur weil f injektiv ist. Denn betrachte mal

$y\ \in f\left(A\right)\ \cap f\left(B\right)\ \Rightarrow\ \exists x_1\in A,\ x_2\ \in B\ :\ y\ =\ f\left(x_1\right)\ =\ f\left(x_2\right)$

(was folgt jetzt aus der Injektivität von f ?)

zu (d):

Es sei

$M\ =\ \left\{1,2,3\right\},\ N\ =\ \left\{1,2\right\}$

nun betrachte

$f\left(1\right)\ =\ 1\ =\ f\left(2\right)\ ;\ f\left(3\right)\ =\ 2$

diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv. Jetzt sei

$A\ =\ \left\{1\right\},\ B\ =\ \left\{2,3\right\}$

damit folgt

$f\left(A\ \cap B\right)\ =f\left(\varnothing\right)\ \ne f\left(A\right)\ \cap f\left(B\right)\ =\ \left\{1\right\}\ \cap\left\{1,2\right\}\ =\ \left\{1\right\}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Comments

[Xy069]

Also d konnte ich nachvollziehen. c aber nicht so ganz. Könntest du du C mal vorführen so dass diesen Beweis vollziehen kann?

[KunXz]

@Xy069

Wie oben steht soll mal gelten y = f(x_1) = f(x_2), dann folgt aufgrund der Injektivität von f ja x_1 = x_2 und deshalb auch

x_1 = x_2 Element in A und B (also im Schnitt, da x_1 aus A und x_2 aus B nach Annahme)

daraus folgt wiederrum

y Element aus f(A Schnitt B)

Answer 2

[nobytree2]

Nur mal ein paar Gedanken, so mega fit bin ich darin leider nicht:

Nehmen wir an, f wäre nicht injektiv, dann könnte folgendes möglich sein

$f\left(A\right)\ =f\left(B\right)\ und\ A\ \cap\ B\ =\varnothing,\ also\ f\left(A\ \cap\ B\right)=f\left(\varnothing\right)\ne f\left(A\right)\cap f\left(B\right)$

demnach würde ich annehmen, c ist richtig. Die Injektion führt dazu, dass eine verschiedene Urbildmenge auch eine verschiedene Bildmenge erzeugt, wenn die Schnittmenge aus Urbildern das Argument ist, dann muss dies auch für die Bildmenge gelten.

Zur Surjektion: Die Funktion trifft jedes Element der Menge im Bild. Nehmen wir an, dass die Bildmenge kleiner ist als die Urbildmenge, dann wäre f(A) = f(B) möglich mit A und B ohne Schnittmenge.