Warum vertauscht ein Spiegel rechts und links, aber nicht oben und unten? Welche Eigenschaften müsste ein Spiegel haben, der alles auf den Kopf stellt?

Ein Spiegel vertauscht nicht links und rechts. Genausowenig wie oben und unten.
Kopf bleibt oben, rechte Hand bleibt rechts.

Ein Spiegel erzeugt ein virtuelles Bild, dessen Orientierung (Drehsinn!) umgekehrt ist zum Original. That's all.

Um ein Bild auf den Kopf zu stellen oder echt links und rechts zu vertauschen, braucht man ein Umkehrprisma.
https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrprisma

Ein Spiegel vertauscht nicht rechts und links, sondern vorne und hinten (unter der An­nah­me, daß er an der Wand hängt und Du in den Spiegel blickst). Denn wenn Du nach links oder rechts deutest, macht Dein Spiegelbild dasselbe (eure Hände sind par­al­lel); wenn Du aber nach vor deutest (zum Siegel hin), dann zeigt Dein Spielbild in die Gegen­­rich­tung (aus dem Spiegel heraus).

Allgemein gesagt: Ein Spiegel vertauscht genau eine Richtung, nämlich die, die nor­mal auf seine Oberfläche steht. Wenn Du auf einem spiegelnden Boden stehst, dann ver­­tauscht er oben und unten.

In dieser Erklärung habe ich rechts und links für Richtungen verwendet, und Du siehst, daß Deine Frage damit völlig kollabiert — es ist zwar alles an meiner Antwort kon­si­stent und nicht­paradox, aber trotzdem scheint die Antwort nicht ganz zur Fra­ge zu passen.

Der Grund ist, daß die Wörter rechts/​links sowohl für Richtungen gebraucht werden als auch für eine Größe, die keinen guten Namen hat und die ich jetzt einfach als Hän­dig­­keit bezeichne. Eine rechte und eine linke Hand (oder Schuhe oder Hand­schuhe, oder eine rechtsgängige und eine linksgängige Schraube) unterscheiden sich genau in ihrer Händigkeit.

Mit ein bißchen Mathematik kann man verstehen, daß die Händigkeit eines Objektes sich ändert, wenn man genau eine Richtung umdreht (oder auch drei, aber nicht zwei). Da wir schon gesehen haben, daß ein Spiegel eine Richtung umdreht, hat ein Spie­gel­bild die umgekehrte Händigkeit (das Spiegelbild einer rechten Hand ist eine linke Hand und umgekehrt).

Und damit ist das ganze Paradox endgültig aufgedröselt: Wenn Du vor einem Spie­gel stehst und Dein Spiegelbild betrachtest, dann sind die Richtungen rechts und links (oder oben und unten) für euch beide dasselbe, vorne und hinten sind aber ver­tauscht. Dar­aus folgt zwingend, daß im Spiegelbild alles linkshändig ist, was in der realen Welt rechts­händig ist und umgekehrt.

Ein an der Wand hängender Spiegel vertauscht also nicht rechts mit links, und er ver­tauscht auch nicht oben und unten. Er vertauscht aber vorne und hinten, und er ver­tauscht auch rechtshändig mit linkshändig. Deine Frage ist also subtil falsch ge­stellt, weil sie nicht zwischen links und linkshändig unterscheidet und damit ein Para­dox vor­­täuscht, wo keines ist.

ein Spiegel vertauscht nicht rechts und links, unsere Erwartung tut das. Wir denken, der Spiegel macht ein Bild von uns und dreht es dann um, damit wir es auch sehen, und damit wir dann unsere rechte Seite links sehen wie bei einer anderen Person, die uns gegenübersteht, aber dieses Umdrehen findet eben nicht statt.

Es wird beim Spiegel gar nichts getauscht!
Du verwechseltst da das Spiegelbild mit einem Foto.

Bei einem flachen Spiegel ist der Einfallswinkel = der Ausfallwinkel. Alle Lichtstrahlen treffen senkrecht auf und werden senkrecht zurück reflekiert. Du schaust Dir also mit dem linken auge ins linke Auge und mit dem rechten in das rechte.

Ein Foto dagegen würde nicht aus Deiner Perspektive gemacht, sondern aus der gegenüberliegenden. Ein Pickel auf Deiner linken Wange ist somit auf dem Foto rechts zu sehen. Das Foto entspricht nicht dem Spiegelbild, es ist nur aus Deiner Sicht seitenverkehrt.

Es ist also alles eine Frage der Position und der Wahrnehmung.

Um alles umzukehren, benötigt man einen Hohlspiegel (konkav). Dieser reflektiert alle einfallenden Lichtstrahlen zur gegenüberliegenden Ebene. Aus links wird rechts, aus oben wird unten.

Da wird nichts vertauscht! Wenn du den rechten Arm hebst, hebt das Spiegelbild auch SEINEN rechten Arm.