Warum treten beim sinus kosinus und tangens leichte Unterschiede im Ergebnis auf?
Woher weiß man was man nutzen soll? Hab gestern gemerkt, dass je nach kosinus, sinus und tangens leicht Unterschiedliche Werte rauskommen (+/- 0,10). Woran liegt das?
7 Antworten
Es sind einfach unterschiedliche Funktionen. Im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken kannst du sie über die Seitenverhältnisse bezüglich eines Winkels definieren. Dabei ist die Hypothenuse die längste Seite, die Gegenkathete die dem Winkel gegenüberliegende Seite und die Ankathete die kürzere, dem Winkel anliegende Seite (ich empfehle dir den Abschnitt zu rechtwinkligen Dreiecken in diesem Wikipediaartikel: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie)
Sinus=Gegenkathete/Hypothenuse
Cosinus=Ankathete/Hypothenuse
Tangens=Gegenkathete/Ankathete
Man kann die Funktionen aber auch über den Einheitskreis definieren (wobei man den Zusammenhang zu den Dreiecken recht schnell sieht wenn man die Größen entsprechend abträgt) sowie als Lösung bestimmter Differentialgleichungen (hier wird der Zusammenhang zur Geometrie nicht ganz so direkt ersichtlich).
Hallo,
nehmen wir doch mal das rechtwinklige Dreieck, das die Katheten 3 cm und 4 cm und die Hypotenuse 5 cm besitzt.
Winkel Phi liege der kürzeren Kathete gegenüber.
Dann gilt:
sin (Phi)=3/5=0,6
cos (Phi)=4/5=0,8
tan (Phi)=3/4=0,75
Das sind deswegen unterschiedliche Werte, weil sie die Verhältnisse unterschiedlicher Seiten widerspiegeln.
Wenn Du nun aber prüfst, zu welchem Winkel diese unterschiedlichen Werte gehören, wirst Du folgendes feststellen:
arcsin (0,6)=36,86989765°
arccos (0,8)=36,86989765°
arctan (0,75)=36,86989765°
Die Werte stimmen exakt überein, was auch zu erwarten ist, da sie sich jeweils auf genau den gleichen Winkel beziehen.
Daß der Sinus eines Winkels einen anderen Wert hat als der Kosinus oder der Tangens desselben Winkels, ist doch klar. Ansonsten würde es ja reichen, nur eine dieser Winkelfunktionen zu haben, wenn sie ohnehin alle gleich wären.
So aber kannst Du die Funktion wählen, die Du benötigst, um eine fehlende Seite oder einen fehlenden Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen oder auch in einem allgemeinen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz), wenn jeweils die anderen Stücke gegeben sind.
Es wäre dagegen erstaunlich, wenn der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse (Sinus) in bezug auf einen bestimmten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck den gleichen Wert ergeben würde wie der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete (Tangens).
Es handelt sich zwar um dasselbe Dreieck und denselben Winkel, aber um jeweils unterschiedliche Seitenverhältnisse.
Wieso sollten die Werte dann nicht voneinander abweichen?
Herzliche Grüße,
Willy
?
Der Cosinus fängt bei 1 an und schwingt Wellen förmig zwischen 1 und -1.
der Sinus fängt bei 0 an und schwingt auch zwischen 1 und -1.
der tangens ist eine Funktion die ins unendliche negativ und positiv geht.
Der tangens von einem Winkel x in einem rechtwinkeligen Dreieck ist der Sinus durch den cosinus.
Der sinus von einem Winkel ist gegenkathete durch Hypothenuse
und der cosinus ist Anliegende Kathete durch Hypothenuse
Was genau hast du denn versucht zu rechnen?
Sinus, Kosinus und Tangens sind unterschiedliche Funktionen und stellen (u.a.) Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken dar. Natürlich verändert sich das Ergebnis, wenn du eine andere Funktion verwendest. Du rechnest ja auch was ganz anderes aus.
Dann schreib mal eine Beispielrechnung auf. Möglich wäre, dass du bereits bei Zwischenschritten rundest und du einfach von Rundungsfehlern sprichst.
kommt drauf an was gefragt ist.
Die Ergebnisse sind natürlich unterschiedlich, da das alles verschiedene Rechenoperationen sind.
Also man kann ja des gleiche manchmal mit kosinus und tangens bspw rechnen...Aber es kommen leicht unterschiedliche Werte raus
wenn der Winkel (ZB a) sehr klein ist, dann gilt: tan(a) ist ungefähr cos(a)
Es können sogar stark unterschiedliche Werte herauskommen:
tan (89°)=57,28996163
cos (89°)=0,01745240644
Welche Winkelfunktion Du für einen Winkel anwendest, hängt immer davon ab, welche Stücke im Dreieck gegeben sind.
Wenn Du die beiden Katheten, aber nicht die Hypotenuse hast, nimmst Du den Tangens, um einen Winkel zu bestimmen, weil der ohne Hypotenuse funktioniert.
Hast Du die Hypotenuse, aber keine Ankathete, nimmst Du den Sinus; fehlt Dir die Gegenkathete, nimmst Du den Kosinus.
Du mußt Dich danach richten, was Du suchst und was gegeben ist.
Willy
Das ist jetzt das Gegenbeispiel. Da der Winkel mit 89° relativ groß ist, weichen die Werte stark voneinander ab. Je kleiner der Winkel, desto mehr nähern sich die Ergebnisse an.
Also man kann ja des gleiche manchmal mit kosinus und tangens bspw rechnen...Aber es kommen leicht unterschiedliche Werte raus