Warum Standardabweichung bei p=0,5 am größten?
Kann mir jemand erklären, warum die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit festem n, bei p= 0,5 am größten ist ? ( Begründet mit √n * p ( 1-p ) )
2 Antworten
Gesucht wird, für welches p die Standardabweichung √(n ⋅ p ⋅ (1 - p)) am größten wird. (Für fest gewähltes n.)
Dies ist offensichtlich genau dann der Fall, wenn p ⋅ (1 - p) am größten wird.
Es ist p ⋅ (1 - p) = p - p² = 1/4 - 1/4 + p - p² = 1/4 - (1/4 - p + p²) = 1/4 - (1/2 - p)².
Das Quadrat (1/2 - p)² kann nicht negativ werden, sondern wird minimal 0, nämlich im Fall 1/2 - p = 0, also im Fall p = 1/2.
Demnach subtrahiert man bei 1/4 - (1/2 - p)² im Fall p = 1/2 am wenigsten von 1/4, so dass 1/4 - (1/2 - p)² in diesem Fall am größten ist.
Damit ist dann p ⋅ (1 - p), und damit auch die Standardabweichung √(n ⋅ p ⋅ (1 - p)), im Fall p = 1/2 am größten.
1/4 habe ich zusammen mit -1/4 ergänzt, damit ich dann danach den Teil
- (1/4 - p + p²)
mit der zweiten binomischen Formel zu
- (1/2 - p)²
zusammenfassen kann.
Sowas nennt sich „quadratische Ergänzung“.
1/4 - 1/4 ist gleich 0. Also habe ich in dem Schritt p - p² = 1/4 - 1/4 + p - p² quasi einfach 0 addiert, was an dem Wert des Terms nichts ändert. (Aber obwohl sich der Wert des Terms dadurch nicht ändert, hilft mir das dabei, den Term in eine Form zu bekommen, bei dem man leichter erkennen kann, wo das Maximum liegt.)
p(1-p) = p - p² Parabel (nach unten geöffnet) mit Nullstellen bei p=0 und p = 1. In der Mitte dazwischen liegt der Scheitelpunkt als höchster Punkt.
Woher kommen die 1/4 am Anfang ? ( p-p^2 = 1/4 - 1/4 + p-p^2 ) ?