Warum sind zwei Vektoren, die windschief sind, trotzdem komplanar?
Ich weiß, dass zwei Vektoren immer in einer gemeinsamen Ebene liegen, aber kann es mir einfach nicht vorstellen, warum. Besonders wenn sie windschief sind. Oder sind sie gar nicht immer in genau der gleichen Ebene sondern nur parallel zu der gleichen Ebene? Bzw beide Teil von Ebenen, die die gleichen Spannvektoren haben, aber unterschiedliche Stützvektoren?
Ich hoffe, dass ihr meine Frage versteht und sie mir erklären könnt.
LG
3 Antworten
2 Vektoren, die windschief sind, liegen nicht in der gleichen Ebene. Aber Vektoren selbst können nicht wirklich windschief sein.
Du vermischst hier 2 verschiedene Betrachtungsarten auf Vektoren. Folgendes Beispiel:
v = (1,3,5)
Wo im Raum beginnt der Pfeil der den Vektor repräsentiert?
Kann man nicht sagen, da Vektoren keine Position haben. Sie sind (in der Schulmathematik) Verschiebungen.
Man kann mit Verschiebungen Positionen ausdrücken, in dem man angibt, was verschoben wird. Z.B. der Ursprung. Das wäre dann ein Ortsvektor.
Die Aussage, dass 2 Vektoren eine Ebene aufspannen, geht davon aus, dass beide Vektoren den selben Punkt verschieben (nämlich auf jeden anderen Punkt der in der Ebene liegt). Das bedeutet, dass sie beide durch Pfeile repräsentiert werden, die den gleichen Ursprungsort haben. Und damit nicht windschief sind.
Danke, das war genau das, was ich brauchte. Du hast natürlich Recht, ich habe an windschiefe Geraden gedacht.
Ich weiß, dass zwei Vektoren immer in einer gemeinsamen Ebene liegen, aber kann es mir einfach nicht vorstellen, warum.
Das ist ja schon einmal eine steile Behauptung, die im allgemeinen nicht stimmt. Nein, zwei Vektoren liegen im allgemeinen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Ein Vektor, der von der Sonne zur Erde zeigt und ein anderer Vektor, der vom Mars zum Mond zeigt liegen garantiert nicht in einer Ebene, sondern sind sogar windschief.
Wenn zwei Vektoren jedoch von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, dann liegen sie immer in einer Ebene. Beispielsweise der Vektor von der Sonne zur Erde und der Vektor von der Sonne zum Mars liegen in einer Ebene. Oder man darf auch sagen, dass diese beiden Vektoren dann eine Ebene aufspannen.
Besonders wenn sie windschief sind.
Richtig. Windschief heisst, dass diese beiden zueinander windschiefen Vektoren keine Ebene aufspannen und auch nicht in einer Ebene liegen.
Oder sind sie gar nicht immer in genau der gleichen Ebene sondern nur parallel zu der gleichen Ebene?
Mit etwas Mühe kannst Du bei windschiefen Vektoren immer Ebenen finden, die zu beiden Vektoren parallel verlaufen. Aber das ist dann immer eine Ebenenschar, keine spezielle Ebene.
Bzw beide Teil von Ebenen, die die gleichen Spannvektoren haben, aber unterschiedliche Stützvektoren?
Wie ich zuvor schon ausführte: Für windschiefe Vektoren findet man Ebenenscharen, die parallel zu beiden Vektoren verlaufen. Die hätten dann alle die gleichen Spannvektoren aber unterschiedliche Stützvektoren, wie Du wohl meintest.
Aber ich muss sagen: Solange ich mich mit Schulmathematik und der zugehörigen Vektorrechnung befasse, ist mir noch nie eine Aufgabe untergekommen, wo solch eine Ebenenschar bestimmt werden sollte.
Aufgaben, die im entfernten damit zu tun haben sehe ich im Zusammenhang mit der Bestimmung des Abstands zweier windschiefer Geraden. Dort gibt es zwischen beiden Geraden dann einen kürzesten, senkrechten Verbindungsvektor. Dieser spezielle Vektor stünde dann senkrecht auf einer von vielen Ebenen, die zu beiden (windschiefen) Richtungsvektoren parallel ausgerichtet wäre.
Tut mir leid, ich meine natürlich komplanar und nicht kollinear!