Warum kann jeder Bruch in eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl umgewandelt werden?

Mit dem diesem Vorgehen kannst du aus den Dezimalzahlen immer den entsprechenden Bruch aus ganzen Zahlen konstruieren.

1) abbrechende Dezimaldarstellung

Wenn an einer bestimmten Stelle hinter dem Komma Schluss ist, kann man mit einer genügend grossen Zehnerpotenz multiplizieren und erhält eine ganze Zahl. Das ist schon das Kriterium für Rationalität.

Bsp. x=1.4937 also 10000x=14937 oder besser x=14937/10000.

2) periodische Dezimaldarstellung

Multipliziere die Zahl mit einer genügend grossen Zehnerpotenz, so dass die Periode genau ein Mal vor dem Komma steht und dann nochmal so, dass die Periode gerade hinter dem Komma beginnt. Subtrahiere diese Resultate und du siehst, dass der Nachkommaanteil sich aufhebt. Dann hast du ein ganzzahliges Vielfaches von der Zahl, das wieder eine ganze Zahl ergibt.

Bsp. x=1.493737... also 10000x=14937.3737... und 100x=149.3737...

Damit aber 10000x-100x=14937-149 oder besser x=(14937-149)/(10000-100)=14788/9900.

Ein Bruch kann natürlich irrational sein, bedeutet, dass man ihn nicht ganzzahlig darstellen kann. Wenn aber diese genauigkeit nicht gefordert ist, bricht man die ausgerechnete Kommazahl nach der 3. oder 4. Kommastelle ab.

Weil jeder Bruch auch eine Division ist und damit auch ein Quotient ist:

Zähler geteilt durch Nenner