Warum ist der Flächeninhalt den die Kochkurve einschließt endlich?
Frage steht eigentlich schon oben. Warum ist der Flächeninhalt dieses Fraktals bei unendlich vielen Iterationsschritten endlich, obwohl der Umfang unendlich ist. Das erscheint mit sehr paradox. Bitte um Aufklärung :)
3 Antworten
Die Koch’sche Schneeflocke verläuft innerhalb des Umkreises des gleichseitigen Dreiecks, von dem man bei der Konstruktion ausgeht. Folglich ist ihr Flächeninhalt begrenzt durch die Fläche des Umkreises.
Der Flächeninhalt unterhalb der Koch-Kurve ist begrenzt durch den betr. Kreisabschnitt / Kreissegment. Wenn die Fläche der Koch-Kurve in dies Kreissegment passt, kann sie nicht unendlich groß sein.
Das steht eigentlich auf wikipedia sehr schön beschrieben. http://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve
Ich zitiere es trotzdem mal für dich ;)
"Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem n-ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge also auf das (4/3)^n-fache angewachsen."
"Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt 1 hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der 4 Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/9 hinzu, und bei der n-ten Iteration kommt ein Flächeninhalt von 4^{n-1}\cdot (1/9)^{n-1} hinzu. Der gesamte Flächeninhalt berechnet sich demnach als geometrische Reihe"
Hallo,
die maximale Ausdehnung der Kochkurve nimmt in jedem Iterationsschritt in einer Richtung maximal um 1/3 der letzten Zunahme zu.
Am Anfand sei die Ausdehnung 1 (Stadium einfaches Dreieck)
Nach dem ersten Schritt ist die Ausdehnung 1+1/3
Nach dem zweiten Schritt ist die maximale Ausdehnung in einer Richtung 1+1/3+1/9
Nach dem dritten Schritt ist die maximale Ausdehnung in einer Richtung 1+1/3+1/9+1/27
Nach dem nten Schritt ist die maximale Ausdehnung in einer Richtung 1+1/3+1/9+..+1/3^n.
Der Wert dieser Summe kann 1,5 nicht überschreiten.
Nachdem also die maximale Ausdehnung des Quadrates, das die Kochkurve enthält, nicht größer als 1,5 werden kann und die Kochkurve nur einen Teil der Quadratfläche bedeckt, kann die Fläche der Kochkurve maximal 1,5²=2,25 betragen, wenn die Ausdehnung im ersten Schritt (wie angenommen) 1 beträgt.
Bin ich hier im falschen Film? Was ist die "maximale Ausdehnung"? .."in einer Richtung"? Welches Quadrat? Die Fläche der Koch-Kurve ist 1,8.