Frage von Likelihood2, 40

Warum ist 2i in Polardarstellung 2e^(iPi/2)?

2 ist der Radius. Aber woher weiß ich, dass mein i Pi/2 ist ?

Antwort
von Roach5, 12

Es folgt aus der eulerschen Formel.

Wir haben: e^(i x) = Cos(x) + i Sin(x). Da Cos²(x) + Sin²(x) = 1, hat e^(i x) immer Betrag 1, das wird später noch wichtig.

Man betrachte:

2i = 2( 0 + 1 i) = 2(Cos(π/2) + i Sin(π/2)) = 2(e^(iπ/2)).

Geometrisch kannst du dir das auch sehr gut vorstellen. Der Koeffizient vor der Exponentialfunktion ist der Betrag deiner komplexen Zahl (der Abstand vom Punkt 0 + 0i) [da die Betragsfunktion multiplikativ ist und e^(i x) Betrag 1 hat], und das Argument der Exponentialfunktion nennt sich das Argument der komplexen Zahl, das ist der Winkel der komplexen Zahl als Vektor mit der positiven reellen Achse. Beweis durch Betrachtung am Einheitskreis.

Wenn wir also 2i im Kopf in Polardarstellung haben wollen, dann sieh direkt, dass der Betrag von 2i einfach nur 2 ist, und in richtung i ist die imaginäre Achse, die nach Definition orthogonal auf der reellen Achse steht. π/2 entspricht natürlich einer 90° Drehung, und die Aussage folgt. Solche einfachen Zahlen, wo der Winkel und Betrag sofort klar sind, solltest du im Kopf machen können, für alle anderen Belange siehe MatGaruru's Verfahren.

LG

Antwort
von MatGaruru, 26

Allgemein:  z= a+ b*i

r= sqrt(a^2+b^2)

z= r*e^(i*alpha) alpha ist also der Winkel.

r*cos(alpha)=a  oder r*sin(alpha)=b

Wenn du die komplexe Zahl in der Form : z= a+ b*i gegeben hast , und diese in die eulersche Form umwandeln willst, rechnest du erstmal r aus .

Das machen wir mal jetzt: gegeben : z= 0+2*i

r= sqrt(0^2+2^2) = 2

r*cos(alpha)=a --> 2*cos(alpha)=0

jetzt nach alpha auflösen: alpha= arccos(0)

und das ergibt für alpha = pi/2 + pi*k

Wenn du z in die gaußsche Zahlenebene einzeichnest, siehst du direkt dass alpha = pi/2 der gesuchte Winkel ist .

Also z= 0+2*i= 2*e^(i*p/2)

Kommentar von Likelihood2 ,

Das einzige was ich brauchte ist das hier: z= 0+2*i

Kommentar von MatGaruru ,

und auf den rest kommst du selber ? Sehr gut! :-) freut mich

Kommentar von Likelihood2 ,

Ja mir hat eine Zahl gefehlt um meinen Winkel zu bestimmen. Das war hier eben die Null.

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