Warum ist 0.9(Periode) gleich eins?
Hallo, ich stelle mir die Frage warum 0.9(Periode) gleich eins ist. Mein ehemaliger Mathelehrer sagt weil 1/3 * 3 = 1 ergibt. Aber dann kann ich mir genauso die Frage stellen wieso 1/3 gleich 0.3(Periode) ist, weil 3 * 0.3(Periode) = 0.9(Periode). Desweiteren sagt er noch: "Wenn du denkst es fehlt noch eine Neun dann kommt immer noch eine dazu", aber es ist keine Neun die fehlt. Am Beispiel von Maßeinheiten: 1 Meter != 0.9(Periode) Zentimeter weil jede Neun die dazukommt immer eine kleinere Maßeinheit ist und ich somit den Meter nicht erreiche. Ist 0.9(Periode) überhaupt ein eindeutig bestimmbarer Wert?
11 Antworten
Das habe ich mich in der 9. Klasse oder so auch gefragt :) Erstmal noch zu deinem Beispiel: Das 1/3 * 3=1 ist. Hast du dich nicht viel eher gefragt, warum 1/3 = 0,333333333 ist? Denn dass 1/3 * 3=1 ist die eigentliche Definition von 1/3 ^^
Aber nun zu deiner Frage: Inzwischen studiere ich im 2. Semester Mathematik und kann dir folgendes dazu sagen: Ich weiß nicht, ob du weißt, was ein Grenzwert ist, aber ich versuche es mal hier zu erklären. Wenn du z.B. eine Zahlenfolge hast, also z.B. 1/n. n ist eine natürliche Zahl, also 1, 2, 3, 4, 5, ... Der Grenzwert soll nun zeigen, was passiert, wenn du n gegen ∞ laufen lässt. Also quasi, was 1/∞ ist. Gib doch einfach mal in einen Taschenrechner 1/10000 ein. Dann als nächstes 1/1000000. Und so weiter. Du wirst bemerken, je größer der Nenner wird, desto kleiner wird das Ergebnis. Im Unendlichen ist der Bruch natürlich eigentlich nicht definiert. Aber da das Ergebnis immer kleiner wird, ist der Grenzwert (also sozusagen das Ergebnis von 1/∞) als 0 definiert.
0.9 Periode kannst du also als die Summe von 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/(10^4) + 9/(10^5) + ... + 9/(10^9) Auch das ist eine Zahlenfolge. Man würde sie schreiben als: a1=9/10. an+1=an+9/10^n+1.
Setze also wenn du die ersten Werte der Folge ausrechnen möchtest: n=1: a2=a1+9/10^2 = 9/10+9/100. Für n=2: a3=a2+9/10^3 = 9/10+9/100+9/1000... und so immer weiter. Dein Mathelehrer hat das sehr schön formuliert mit dem: Wenn du denkst es fehlt noch eine Neun dann kommt noch eine dazu.
Denn je mehr 9/10^n s du dazu addierst, wird die Zahl immer größer. Aber nie größer als 1. 1 ist also eine obere Schranke (0,9 Periode wird nie größer als 1) Es ist aber auch die kleinste obere Schranke, weil sobald du ein bisschen unter 1 gehst, wirst du merken, dass 0,9 Periode doch größer ist. Daher ist der Grenzwert (also 0,9 Periode) 1.
Ich hoffe das war jetzt nicht zu verwirrend für dich und du verstehst es einigermaßen. . ich weiß nicht in welcher Klassenstufe du bist, aber wenn du dich für das Thema Grenzwerte interessierst, kannst du ja auch einfach noch ein bisschen dazu googeln. Ansonsten wird es dir spätestens im Leistungskurs Mathe in der Oberstufe erklärt ;)
LG mathe4ever
Um das mit der oberen Schranke noch besser zu erklären, ist mir gerade noch etwas eingefallen: Wenn zwei Zahlen unterschiedlich sind, muss es ja eine Zahl zwischen den Beiden geben. Egal wie nah die Zahlen nebeneinander liegen (bsw. 0,00000000000987 und 0,000000000009871) gibt es unendlich viele Zahlen dazwischen: In dem Beispiel zum Beispiel 0,0000000000098705 oder 0,0000000000098709.
Aber es liegt keine Zahl zwischen 0,9 Periode und 1. Ziehst du auch nur einen minimalen wert von 1 ab, ist 0,9 Periode größer. Daher sind, auch wenn es erstmal vielleicht sehr unlogisch erscheinen mag, die beiden Zahlen gleich.
Das Unendliche und das Verhalten von Zahlen im Unendlichen ist immer sehr spannend und schwer zu erfassen. Was ist Unendlich. Gibt es nur ein Unendlich oder mehrere? Gibt es ein Unendlich, was kleiner ist als andere.
Diese Frage stellt sich zum Beispiel, wenn man überlegt, wie groß die Menge der natürlichen Zahlen, oder die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen ist. Intuitiv, würde man ja sagen, die Menge der ganzen Zahlen hat doppelt so viele Elemente, wie die Menge der natürlichen Zahlen. Andererseits sind beide Mengen unendlich groß. Sind dann in der Menge der ganzen Zahlen wirklich mehr Elemente?
Nein, sind es nicht, aber das ist hier jetzt schwer zu erklären. ABER: Die Reellen Zahlen haben mehr Elemente als die natürlichen Zahlen. Man nennt sie überabzählbar unendlich, während die ganzen Zahlen abzählbar unendlich sind. Grob gesagt, geht es darum, ob man eine Abbildung finden kann, die die natürlichen Zahlen auf die Menge abbildet. Und das geht mit den reellen Zahlen nicht.
Wenn du Lust hast, denk drüber nach. Kannst gern auch noch ein bisschen fragen ^^ LG mathe4ever
Zur Visualisierung gibt es auf YouTube auch ein Video: 0,99 = 1 (oder wo ähnlich) von TheSimpleMaths ;)
Streng genommen gibt es kein Algorithmus, der die Zahl "0,9Periode" erzeugen kann, da man dafür die Zahl "Unendlich - 1" bräuchte, ABER die gibt es nicht:
Unendlich -1 = Unendlich
So ergeben alle Algorithmen (Konstruktionsversuche) den Grenzwert 1:
1/9 * 9 = 1
1/3 * 3 = 1
sum 9/(10^k),k=1...∞ = 1,
denn die Teilsumme bis n ergibt (10^n-1)/10^n und bei n gegen ∞
landet man wieder bei ∞ / ∞ = 1
Auch die Beweise von Drainage und Iks72 beweisen, dass das "angenommene 0.9Periode" in Wirklichkeit eine 1 ist.
Darauf können Dir wohl nur die Vollmathematiker eine Antwort geben (keine Ahnung, ob welche hier sind). Klar ist es einsichtig, das 1/3 * 3 = 1 ist (3 kürzt sich weg). Logisch also auch, dass 0,3 Periode (1/3) * 3 = 0,9 Periode = 1 ist. Demzufolge ist es irgendwie auch logisch, dass 0,9 Periode = 1 ist. Aber, Dein Einwand ist durchaus sehr interessant und Du hinterfragst die Dinge (das ist sehr sehr gut). Bleib dabei und wenn Du Dich dafür echt interessierst, studiere später mal Mathematik. Gruß regloh
Danke, das hatte ich auch schon in Erwägung gezogen, aber mein Interesse geht etwas mehr in Richtung Physik
Mathematik und Physik sind wohl untrennbar verbunden. Geh Deinen Weg, Du schaffst das.
Keine Angst, auch als Physiker lernt man das, so weit reicht unsere Mathematik noch ;)
Wenn man es endlich betrachtet, also ganz viele neunen, dann ist es kleiner als 1. Die 1 erreicht 0.99999999... erst in der Unendlichkeit. Die Unendlichkeit ist kein einfaches Konzept, das ist schon sehr abstrakt. Du sagst, das für jede neun, die dazukommt es immer kleiner als eins ist. Das stimmt auch, aber das heißt nicht, das der Grenzwert kleiner ist.
Die in dem Video (auf Englisch) erklärt es auch gut:
Das Problem ist, dass in der Schule die periodischen Dezimalzahlen nur sehr oberflächlich eingeführt werden. Oft sagen die Lehrer, "stellt euch das so vor, dass ihr immer noch eine 9 anhängt" oder ähnliches. Das führt dazu, dass Schüler sich diese Zahl als etwas vorstellen, was quasi noch in Bewegung ist, sich also noch immer ändert, wenn auch mit immer kleineren Schritten. Man merkt das an den Begriffen "immer näher" oder "nie erreichen", die arme kleine Zahl rennt also quasi japsend zur 1 hin und kommt nie an.
Man verwechselt den Prozess "ich hänge immer wieder eine 9 an" mit dem Ergebnis des Prozesses, weil man sich nicht vorstellen kann, dass auch ein Prozess mit unendlich vielen Teilschritten zu Ende sein könnte.
Für Mathematiker ist das aber ganz anders. Sie interessieren sich für die Frage "was käme heraus, wenn das unendlich oft passiert wäre" und haben dafür mit dem Grenzwertbegriff ein vollkommen exaktes Werkzeug. Der Grenzwert einer Folge von Zahlen ist definiert als eine Zahl, um die ich auf den Zahlenstrahl einen beliebig kleinen Kreis schlagen kann und dann nur noch endlich vielen Folgenglieder außerhalb des Kreises liegen. Muss man jetzt nicht verstehen, aber das wäre eine der einfachen Definitionen.
Die Folge
0
0,9
0,99
0,999
...
hat so einen Grenzwert, nämlich 1. Der ist völlig eindeutig bestimmbar. Und so ist eine periodische Zahl definiert: Ich habe eine Folge von Dezimalzahlen, die in jedem Schritt um die Periode verlängert werden (hier: um 9). Diese Folge hat einen Grenzwert. Diesen Grenzwert (und nicht die Folge selber!) nenne ich 0,periode 9.
Das hast du gut erklärt und ja ich weis was ein Grenzwert ist. Ich befasse mich auch in meiner Freizeit mit Mathematik, unter anderem auch wegen meinem Hobby in C zu programmieren. Ich frage weil ich schon unterschiedliche Meinungen (auch von erfahrenen Personen) gehört habe. Aber deine Erklärung ist einleuchtend.