Warum ist 0, periode 9 = 1?
Frage steht oben! Unser Mathelehrer hatte uns das mal so erklärt, aber es muss doch irgendeine logische Erklärung dafür geben. Ich habe es nicht so ganz verstanden. Danke im Vorraus
15 Antworten
Nur damit der Sinn der Aussage ganz klar ist: 0,(periode)9 ist genau gleich 1, es ist einfach eine andere Schreibweise für die 1. Also, 0,(periode)9 "strebt" nicht gegen 1 (wie das manchmal falsch ausgedrückt wird), sondern ist 1.
Es gibt einige schöne, für Schüler gut verständliche Beweise, siehe zB die Antwort von JotEs. Das kann einem auch genügen.
Wenn's dennoch etwas "mathematischer" sein soll, hier noch die Begründung über den Grenzwert:
Der Wert einer periodischen Dezimalzahl ist als Grenzwert definiert, zB ist 0,(periode)3 der Wert, gegen den die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) strebt. Dieser Wert ist ein Drittel (die einzelnen Folgenglieder bleiben jedoch immer kleiner als 1/3, nähren sich 1/3 jedoch immer mehr an).
Entsprechend ist dann natürlich 0,(periode)9 der Wert, gegen den die Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;...) strebt. Diese Folge strebt aber gegen 1, daher ist 0,(periode)9 gleich 1. Ganz ebenso wie 0,(periode)3 gleich 1/3 ist.
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Meiner Ansicht nach ist 0,(periode)9 nicht 1!
Es ist 1, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Genauso wenig wie 0,33333 1/3 ist!
0,33333 ist ja auch nicht 1/3, sondern 0,(periode)3 ist 1/3.
das mit 0,3333 nähert sich an 1/3 an,
Mit "das mit 0,3333" meinst du doch "ich hänge immer noch eine 3 an". Das ergibt eine Folge von Zahlen, nämlich (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...). Und diese Folge nähert sich an 1/3 an. Die Schreibweise 0,(periode)3 bedeutet per Definition den Wert, an den sich die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) beliebig nahe annähert. Und dieser Wert ist 1/3. Daher :
0,(periode)3 = 1/3
Die Perioden-Schreibweise bedeutet nicht "ich hänge noch immer noch eine Ziffer an", sondern sie steht für denjenigen Wert, an den sich die Folge, die man durchs Ziffernanhängen erhält, annähert. Nennt man Grenzwert.
genauso nähert sich 0,(periode)9 an 1 an,
Nicht 0,(periode)9 nähert sich, sondern die Folge, die du durch fortgesetztes Neuner-Anhängen erhälst:
0,9
0,99
0,999
…
Das nähert sich an 1 an. Und mit "Periode" ist eben der Wert gemeint, an den sich die Folge annähert. Also 1.
aber es fehlt eben doch "ein Unendlichstel" um 1 zu sein...
Für jede Zahl aus der Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; …) fehlt immer noch was zur 1. Was da fehlt, wird immer kleiner. Aber wie schon gesagt: 0,(periode)9 steht aber nicht für diese Folge, auch nicht für eine Zahl aus dieser Folge, sondern für den Wert, an den sich diese Folge annähert. Und dieser Wert ist 1.
Allgemeiner: Ist Z eine Ziffer (oder mehrere, man könnte auch Z="15634578" nehmen), dann ist 0,(periode)Z diejenige Zahl, an die sich die Folge (0,Z; 0,ZZ; 0,ZZZ; 0,ZZZZ; …) beliebig annähert.
Ich habe es ehrlich gesagt auch nie verstanden. Zwar kann ich nachvollziehen, wie argumentiert wird, doch überträgt man diesen Sachverhalt auf eine graphische Lösung, wird es schwieriger.
Nehmen wir eine Kurve, die sich der x-Achse nähert, ohne sie zu schneiden. Sie kommt immer näher dran. Also im ersten Schritt 0,9, um zweiten Schritt 0,99, im dritten 0,999 usw. Sie berührt die Achse aber niemals. Würde sie sie berühren, wäre es 1.
Man sagt zwar, dass sie die x-Achse in der Unendlichkeit schneidet, aber rein logisch betrachtet passiert dieses eben genau nicht.
Aber ich habe auch nicht Mathematik studiert. Von daher streite ich mich deswegen auch nicht.
Ich habe es ehrlich gesagt auch nie verstanden.
Ist 1/4 = 2/8 = 3/12=...= 0,25=2,250=0,2500=0,25000=0,2500000 = 0,2500000000=... auch ein Problem? Es gibt viele Schreibweisen für ein und dieselbe Zahl. 0(periode)9=1 ist eben eine weitere.
Also im ersten Schritt 0,9, um zweiten Schritt 0,99, im dritten 0,999 usw. Sie berührt die Achse aber niemals.
Ja, das stimmt. Egal, wie viele Neuner man anhängt, die 1 wird nie erreicht. Indessen strebt die Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;...) gegen 1, dh 1 ist ihr Grenzwert. Die Schreibweise 0,(periode)9 steht für diesen Grenzwert, also 0,(periode)9=1.
http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Allgemein: Die Perioden-Schreibweise steht nicht für "ich hänge immer noch weitere Ziffern an". Sie steht auch nicht für die Folge der Zahlen, welche man durch das Anhängen der Ziffern erhält. Sondern die Perioden-Schreibweise steht immer für den Grenzwert der Folge, die durch das Ziffern-Anhängen entsteht.
Hier steht nochmal die Erklärung mit den Grenzwert: http://tinyurl.com/6am9lkn
Hallo,
hier ein wie ich finde gutes Bsp.:
Wir nehmen mal an, dass M=0,(Periode)9 ist. Dann nehmen wir doch mal M x 10.
Dann haben wir 10M = 9,(Periode)9.
Jetzt ziehen wir von 10M mal ein M ab, also 10M - 1M = 9,(Periode)9 - 0,(Periode)9
Hier wird hoffentlich für alle sichtbar, dass wenn man von 9,(Periode)9 0,(Periode)9 abzieht, 9 rausbekommen, sowie bei 10M - 1M = 9M
Hier sehen wir, dass 9M = 9 ist, und so M = 1 ist.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen
Gruß: bigboy00
Das ist eine Täuschung und kein Beweis!
X = 0,999...
10X = 9,999...
9X = 10X - 1X = 9
X = 1
Wie folgt aufgeschrieben wird der Fehler deutlich:
X = 0,999...9
10X = 9,999...0
9X = 10X - 1X = 8,999...1
X = 0,999...9
Irrtum, lieber GenialerIdiot,
Die Schreibweise
x = 0,999...
bedeutet, dass auf das Komma unendlich viele Neunen folgen sollen.
Verzehnfacht man eine Dezimalzahl, so bedeutet das, dass man das Komma um eine Stelle nach rechts rückt. Beispiel: Aus 10,52 wird 105,2.
So ist es auch hier ... aus 0,999... wird 9,99... wobei die drei Punkte jeweils für eine Folge von unendlich vielen Neunen stehen. Eine Null kommt in dieser Folge nirgends vor.
es ist das mathematische paradox...
in einem bruch ist es eine einwandfreie aussage, jedoch in dezimaler darstellung mangelhaft.
insofern ist es nicht eins.
korrekte mathematik wäre, eine teilung von eins durch drei oder sieben oder anderer zahlen die einen periodenwert ergeben nicht für die praxis zuzulassen. rein rechnerisch weiß man schon, das man zwar einen verschwindend geringen fehler hat, aber dieser verhält sich wie eine laufmasche in einer strumpfhose. ist also eine da, ist die ganze hose kaputt.
eine mathematische umrechnung von eins zu drei in einem dezimalsystem ist unkorrekt.
bei der gegenrechnung kommt die periode mit neun raus was nicht dem ursprungswert entspricht.
dein mathelehrer liegt also mathematisch eigentlich nicht richtig.
für die wissenschaft reicht dieses paradox und die aufrundung zu eins.
immerhin... wäre das universum eine zahl.... würde die lösung dieses paradox die weltformel offenbaren.
physikalisch neu strukturiert, das teilchen welches trotz abgabe von energie ohne fremde einwirkung neue energie erzeugt. das perpetuum mobile oder das verfälschen aller theorien in denen eine kraft nicht immer von einem gleichen kräftesystem ausgeglichen wird.
logisch richtig^^ noob... fresse halten und kaffee trinken xD
es ist das mathematische paradox...
ür die wissenschaft reicht dieses paradox und die aufrundung zu eins.
Das ist weder paradoxc noch hat das was mit runden zu tun. http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
oh je...
Da hat wohl wieder einmal jemand sein Möchtegernphilosophiestudium mit Beifach Möchtegernmathematik abgeschlossen und will sein Pseudowissen hier verbreiten...
Wann wird dieser Studiengang endlich abgeschafft?!?!
MFG
lieber mathgeek^^ zuallererst... ich bin king maximus von keine ahnung... ich als oberhaupt befehle dir wurm... ja dir untergebener.... ein paradox als solches klar anzuerkennen wenn der reale wert in einem bruch nicht exakt durch eine dezimalzahl festgelegt werden kann.
dazu zählen neben den verflucht größten und verflucht kleinsten zahlen solche dinger wie.. unendlichkeit, (was uns nur klar machen soll das mehr existiert als wir es je vermuten) die null als zustand eines nichts (als mathematikphilosoph behaupte ich dreisterweise: ein nichts kann durch die bennenung durch etwas nicht als nichts bezeichnet werden^^) und jede zahl die zb durch einen bruch (was theoretische mathematik ist) nicht einwandfrei als fix angegeben werden kann. zumindest wenn: es in angewandter mathematik als berechnungsgrundlage gilt. zB eine physikalische formel, ja mathematik hat einfluß wie genau wir es mit der welt nehmen^^, in der dreisterweise ein 1/3 alpha * 1/3 zeta = omega
in praxisbezogener anwendung gilt eine eindeutigkeit nur in jedem fall in dem alpha und zeta einen einwandfrei durch drei teilbaren wert haben. alles andere ist fehlerdiagnose und rätselraten ob dieser minimale umstand, Verdammt, steckt der teufel im detail, etwa statistisch eine höhere fehlermeldung erzeugt?
mathematik an sich scheint exakt. gibt aber genug unschlüssige wege in der mathematik^^
aber mathegeek hat in der siebten klasse nicht aufgepasst als ihm der mathelehrer an der tafel das ein oder andere mathespiel gezeigt hat.
dazu zählt auch, gibt sowas was fest allen mathematischen regeln folgt. als gegenrechnung jedoch was anderes rauskommt...
oh ich philosophiere nicht, ich hab nur mehr recht wie du^^
ein paradox als solches klar anzuerkennen
Deine Verständnisprobleme sind deine Verständnisprobleme und kein Paradox.
wenn der reale wert in einem bruch nicht exakt durch eine dezimalzahl festgelegt werden kann.
0,(periode)3 ist aber nunmal die exakte Darstellung von 1/3.
[jede Menge Schwurbel] aber mathegeek hat in der siebten klasse nicht aufgepasst
Es ist wohl eher so, dass fieserfisch in der sechsten Klasse nicht aufgepasst hat, da lernt man nämlich Dezimalzahlen. Auch periodische. Auch wie man diese in einen Bruch zurückverwandelt.
als gegenrechnung jedoch was anderes rauskommt...
Nur wenn man, wie fieserfisch, falsch rechnet, weil man's nicht verstanden hat.
oh ich philosophiere nicht,
Nein, du philosophierst in der Tat nicht, da muss man die Philosophie in Schutz nehmen. Du schwurbelst.
Ich versteh das nicht ganz. Meiner Ansicht nach ist 0,(periode)9 nicht 1! Genauso wenig wie 0,33333 1/3 ist! Ich finde, das mit 0,3333 nähert sich an 1/3 an, stimmt schon und genauso nähert sich 0,(periode)9 an 1 an, aber es fehlt eben doch "ein Unendlichstel" um 1 zu sein...