Warum hat diese Aufgabe keine Nullstelle?

Answer 1

[Schirokko]

Am besten du schreibst die Gleichung für die Nullstelle erstmal hin:

$x^2-ln(x)=0 \iff x^2 = ln(x)$ Dann wendest du die Exponentialfunktion an:

$e^{x^2}=x$

Nun gibt es eine wichtige Ungleichung in der Mathematik, die die Exponentialfunktion abschätzt, nämlich allgemein

$e^a \ge 1+a$

Setze nun für a=x² ein:

$x=e^{x^2}\ge 1+x^2$

Nun eine Fallunterscheidung:

Für x=+-1 sieht man sofort, dass die Ungleichung eine falsche Aussage ist.

Für |x|>1 ist x²>x und somit erst recht x²+1>x, was die Ungleichung zu einer flaschen Aussage macht (x² ist immer positiv).

Für |x|<1 ist die Ungleichung auch falsch, da auf der rechten Seite eine "+1" steht und somit die rechte Seite immer größer als die linke Seite ist.

Somit ist der Widerspruchsbeweis abgeschlossen und die Anfangsbedingung, dass

$x^2-ln(x)$ eine Nullstelle hat ist eine falsche Annahme!

Einfacher geht es, wenn du wie der andere Kommentar einfach beweist, dass das Minimum >0 ist und es das einzige globale Extremum ist

Answer 2

[evtldocha]

Ich würde jetzt das Minimum suchen

$f'\left(x\right)=2x-\frac{1}{x}=0\ \rightarrow\ x=\sqrt{\frac{1}{2}};\ f''\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=2+\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^{^2}}>0$ Die Funktion f(x) hat ein Minimum bei

$x=\sqrt{\frac{1}{2}}$

Funktionswert

$f\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\ln\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\ >0$

Der Funktionswert beim Minimum ist größer als 0, daher kann die Funktion keine Nullstelle haben.