Warum gibt es kein Integral von der Verteilungsfunktion?
Hallo, in meinem Mathebuch steht: Um die Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsvariablen zu berechnen, muss das Integral der Verteilungsfunktion berechnen werden. Für dieses Integral existiert keine Stammfunktion.
Mein Frage ist warum es keine Stammfunktion für die Verteilungsfunktion gibt. Und berechnet man die WK nicht wenn man das Integral der Glockenkurve berechnet?
3 Antworten
Die Glockenkurve ist die Dichtefunktion der Normalverteilung. D.h. dass der Flächeninhalt unter der Kurve der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht.
Die Verteilungsfunktion ist eine Stammfunktion der Glockenkurve. Man muss kann also die jeweiligen Werte darin einsetzen und erhält als Differenz die gesuchte WK. Leider (und das ist bewiesen) lässt sich die Verteilungsfunktion nicht elementar, sprich durch bekannte Funktionen wie Logarithmen oder Polynome, darstellen. Das heisst noch lange nicht, dass keine Stammfunktion existiert! Man musste nur ein neues Symbol (Phi) für sie einführen. Die Integraldarstellung ist ja auch etwas unhandlich.
Die Verteilungsfunktion ist vermutrlich nur für ganze Zahlen definiert und deshalb in R nicht differenzierbar. Deshalb gibt es auch keine Stammfunktion...
Das Integral der Glockenkurve entspricht nicht der Wahrscheinlichkeit...Schließlich rechnest du ja die Lücken mit...
Ich kenne mich damit nicht aus, aber ich gehe davon aus, dass, wenn du die Dichtefunktion verwendest du den Bereich, in dem die Eingangswerte liegen komplett definierst, quasi unedndlich viele Werte verwendest, weshalb die Funktion dann auch eine Stammfunktion besitzt...
Die Funktion kann nicht integriert werden, zumindest nicht nach dem heutigen Kenntnisstand. Somit kannst du natürlich auch kein Integral berechnen.
@Jegor287 warum muss ich aber die Verteilungsfunktion berechnen? ich kann ja zb bei der normalen Dichtefunktion die Fläche berechen (integrieren) und bekomme ja die WK heraus welchen Wert die Zufallsvariable höchstens annehmen kann
@Destranix aba ich kann ja zb bei der normalen Dichtefunktion die Fläche berechen (integrieren) und bekomme ja die WK heraus welchen Wert die Zufallsvariable höchstens annehmen kann