Warscheinlichkeit ( Mathematik)?
Hey,
Ich habe eine frage zu einer aufgabe: Peter würfelt
10 Mal eine eins
8mal eine 2
7mal eine 3
9mal eine 4
7mal eine 5
und
9mal eine 6
jetzt ist meine frage:
wie hoch ist die warscheinlichkeit,das ,,Peter" eine 1 würfelt
Ich freue mich über jede antwort!
Mit freundlichen Grüßen
7 Antworten
Wenn der Würfel nicht gezinkt ist, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine '1' gleich 1/6. Die reale relative Häufigkeit wird, wie hier, ungefähr der Wahrscheinlichkeit entsprechen.
Hier ist sie etwas größer als 1/6,nämlich 1/5, aber das heißt noch lange nicht, dass auch die Wahrscheinlichkeit 1/5 ist.
Wenn man dieses Experiment, 50 mal Würfeln, oft genug wiederholt, werden sich die relativen Häufigkeiten um die tatsächlichen Wahrscheinlichkeit verteilen, und zwar so, dass es einer Binomialverteilung entspricht.
Wohl bemerkt: Das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, eine '1' zu würfeln, sondern eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die für jede in Frage kommende Zahl n angibt, wie wahrscheinlich es ist, die Zahl '1' n mal zu würfeln.
Wir überlegen mal für 3 Würfe: Es gibt dann 6³ = 216 Möglichkeiten, irgendetwas zu würfeln.
Hätte der Würfel nur 5 Seiten, so gäbe es bei 3 Würfen
125 = (3 über 0)·1⁰·5³
Möglichkeiten. Genau so viele gibt es tatsächlich, 3 Mal keine '1' zu würfeln.
Für genau eine '1' gibt es (3 über 1) = 3 Positionen, und zu jeder davon gibt es 5²=25 Möglichkeiten, macht zusammen
75 = (3 über 1)·1¹·5².
Für genau zwei '1'en gibt es (3 über 2) = 3 unterscheidbare Positionen oder, umgekehrt gesagt, 3 Möglichkeiten, die '¬1' zu positionieren, für die es noch 5 Möglichkeiten gibt, und das macht zusammen
15 = (3 über 2)·1²·5¹.
Summa Summarum sind das 125+74+15=215. Die letzte Möglichkeit entfällt auf genau 3 '1'en, also
1 = (3 über 3)·1³·5⁰.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind damit 125/216, 75/216, 15/216 und 1/216.
Wenn man 50 Mal würfelt, gibt es prinzipiell 6^{50} unterscheidbare Möglichkeiten. Nach der allgemeinen binomischen Formel ist das mit einer '1' und 5 '¬1' ('¬' heißt 'nicht')
∑_{k=0}^50 {(50 über k)*1^k*5^{50–k}}
und der Summand für k=10 ist die Anzahl der Möglichkeiten, die genau 10 '1'en enthalten. Das durch die Anzahl aller Möglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von 50 Würfen 10 mal eine '1' zu werfen.
Das (50 über k) ist der Binomialkoeffizient
(50×49×…×{50–k})/(1×2×…×k).
Das oben Geschriebene kann man an kleinen Zahlen testen.
Ich habe mir die Überlegung für eine kleine Zahl an Würfen noch mal angeschaut und bestätigt gefunden.
Ein bisschen lapidar, findest Du nicht? Ich lasse mich gern korrigieren, aber die Mühe sollte man sich dann doch machen.
n = 10+8+7+9+7+9 = 50
P(1) = 10 / n = 1/5 = 0,2 = 20%
allerdings ist das die Versuchswahrscheinlichkeit. Um die tatsächliche Wahrscheinlichkeit zu kriegen musst du n gegen unendlich gehen lassen und erhälst dann 1/6 = 16,67%
1/6
was er vorher gewürfelt hat ist für den jetzigen wurf nicht relevant (bei perfektem Würfel)
falsch