Wann wendet man das Vorzeichenwechselkriterium an?
Macht man das immer wenn man Hoch und Tiefpunkte ausgerechnet hat durch f‘(x)=0 und Einsetzen von x-Werten in f‘‘(x)? Bitte einfach erklären und wie geht das Vorzeichenwechselkriterium nochmal?
3 Antworten
Du setzt einen Wert in die Ableitung kurz vor der Nullstelle der Ableitung ein und einen danach. Bei einem Extrempunkt müssen die Resultate unterschiedliche Vorzeichen haben.
Stell dir die Normalparabel vor. Bis zum Extrempunkt (Tiefpunkt) fällt die Parabel. Ab dem Extrempunkt steigt sie. Das Fallen spiegelt sich in einer negativen Ableitung wieder. So ist bei f(x) = x², f'(x) = 2x. Für x=0 ist f'(x) = 0. Setzt man -1 ein, erhält man f'(-1) = -2. f'(1) = +2. Es findet ein Vorzeichenwechsel statt. Somit ist sichergestellt, dass es sich um eine Extremstelle handelt. Da von - auf + gewechselt wird, kann man schlussfolgern, dass es sich um einen Tiefpunkt handeln muss. Erst fällt die Funktion, dann steigt sie.
Das einzige, worauf du achten musst, ist dass sich zwischen deinen Stichproben nur die eine Nullstelle der Ableitung befindet und keine weiteren.
Die zweite Ableitung benötigst du nicht, wenn du das Vorzeichenkriterium anwendest. Du könntest aber alternativ f''(x) betrachten. f''(x) = 2, also auch f''(0) = 2. Da 2 größer als 0 ist, kannst du auch auf diese Weise folgern, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt.
Sih dir das Bild an. Das Blaue ist die Funktion, das Rote die erste Ableitung.
Man sieht, dass die Steigung links negativ ist, immer flacher wird bis sie null wird und dann positiv wird. Das ist das Verhalten bei einem Minimum.
Nun schau dir die 1. Ableitung an: ihre Steigung (also die 2. Ableitung der Funktion) ist hier positiv!
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Sehen wir uns nun ein Maximum an:
Hier ist die Steigung erst positiv und wird dann negativ. Die Steigung (1. Ableitung) geht also von positiv nach negativ, sprich: ihre Ableitung (= 2. Ableitung der Funktion) ist im Nulldurchgang negativ!
Mein Tip: Nehme Dir eine rationale Funktion 3.Grades mal vor. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Bilde die erste Ableitung und zeichne sie ebenso dazu. Beachte dabei das Grundprinzip: Die erste Ableitung zeigt immer die Steigung der ursprünglichen Funktion an. Wenn Du diese beiden Kurven vergleichst und dir zudem noch die Extremwerte der Funktion ansiehst und hinguckst, wie da die Ableitungsfunktion aussieht, dann kapierst Du es ein für alle mal.
Als nächsten Schritt bildest Du die zweite Ableitung und zeichnest sie ebenfalls ein. Die zweite Ableitung zeigt dir Steigung der ersten Ableitung an und gleichzeitig die SteigungsÄNDERUNG der Grundfunktion.
Wenn du alle drei jetzt gemeinsam betrachtest und durchdacht hast, dann weißt Du alles was es zu diesem Thema (auf Schulniveau) gibt und hast es sogar VERSTANDEN.
Fragen und Antworten zu bekommen hilft zwar kurzfristig weiter, aber es einmal richtig zu verstehen löst alle deine Probleme - oder wenigstens die mit Funktionen und Ableitungen.
Nachtag: Ich hatte vergessen auf das Vorzeichenwechselkriterium einzugehen.
Schau dir die Werte der ersten Ableitung an links und rechts von einem Extermwert. Die sind erst positiv und dann negativ (oder anders herum) - dann verstehst Du das Vorzeichenwechselkriterium sofort und kannst es immer verwenden. Du wirst sehen, wie sie wehcseln bei einem Tiefpunkt oder bei einem Hochpunkt. Aber das mußt Du dir nicht merken (in Sinne von auswendig lernen), denn wenn du es einmal sauber durchdacht hast, kannst Du es immer wieder abrufen und kannst Dein Hirn freihalten für wichtigere Dinge.