Wann gibt es Extremstellen und was gibt es die Wendepunkte?
Hey
sagen wir, wir haben ein Funktion y(x) gegeben und haben y'(x), y''(x) und y'''(x) ausgerechnet.
Wie bestimme ich Extrema? y'(x) = 0 und dann die Lösungen ausrechnen. Die Lösungen in y''(x) setzen und dann heißt es : Wenn y''(x) < 0 ist dann hat man ein MAXIMA, wenn y''(x) > 0 ist, dann hat man ein MIN. Was haben wir dann, wenn y''(x) = 0 ist? Hat man dann keine Extremstellen?
Zweite Frage: Um Wendepunke herauszufinden muss man zweite Ableitung von y(x) 0 setzen. Also y''(x) = 0 und dann die Lösung in 3. Ableitung. Wenn y'''(y''(x)=0) != 0 ist, dann hat man ein Wendepunkt, wenn y'''(x) = 0 ist, hat man dann keine?
LieGrü
KingOff
6 Antworten
Wenn y´(x) = 0 ist und y´´(x) = 0 ist und y´´´(x) ≠ 0 ist, dann liegt ein Sattelpunkt vor, das ist ein Wendepunkt der zusätzlich eine waagerechte (horizontale) Tangente hat.
Ist y´(x) ≠ 0 und y´´(x) = 0 und y´´´(x) ≠ 0 dann liegt ein ganz normaler Wendepunkt vor, ohne waagerechte (horizontale) Tangente, also kein Sattelpunkt aber ein normaler Wendepunkt.
Ist y´(x) = 0 und y´´(x) ≠ 0 dann liegt eine Extremwertstelle vor, also Minimum oder Maximum.
y´(x) = 0 und y´´(x) > 0 dann Minimum
y´(x) = 0 und y´´(x) < 0 dann Maximum
Anzumerken ist noch, dass ein Punkt in diesen Fällen aus einer x-Komponente und einer y-Komponente besteht, also du musst x jeweils in die richtige Funktion einsetzen.
Wenn y''(x) < 0 ist dann hat man ein MAXIMA, wenn y''(x) > 0 ist, dann hat man ein MIN. Was haben wir dann, wenn y''(x) = 0 ist? Hat man dann keine Extremstellen?
Dann hat man eventuell einen Sattelpunkt. Man muss die nächste Ableitung finden, die einen Wert ungleich 0 an der Stelle hat. Ist der Grad dieser Ableitung ungerade, handelt es sich um einen Sattelpunkt, sonst um ein Extremum.
Beispiel
f(x) = x³, f'(x) = 3x², f''(x) = 6x, f'''(x) = 6, f⁽⁴⁾(x) = 0, usf.
f'(x) = 0 → x = 0, f''(0) = 0, f'''(0) = 6 → 3 ungerade → Sattelpunkt
f(x) = x⁴, f'(x) = 4x³, f''(x) = 12x², f'''(x) = 24x, f⁽⁴⁾(x) = 24, f⁽⁵⁾(x) = 0, usf.
f'x) = 0 → x = 0, f''(0) = 0, f'''(0) = 0, f⁽⁴⁾(0) = 24 → 4 gerade → Tiefpunkt
Du kannst auch einfach auf den Grad des Ausgangspolynoms schauen. ;)
Eine Nullstelle der ersten Ableitung, die auch Nullstelle der zweiten Ableitung ist, aber die dritte Ableitung an der Stelle ist ungleich Null, nennt man einen Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung Null.
Einen Wendepunkt hat man, wenn die zweite Ableitung gleich Null, die dritte Ableitung aber ungleich Null ist.
Nimm als Beispiel mal eine lineare Funktion f(x)=mx+b, m ungleich 0.
f'(x)=m, es gibt also kein Extremum
f''(x)=f'''(x)=0, es gibt auch keine Wendepunkte, was an der Geraden auch anschaulich zu sehen ist.
Wie bestimme ich Extrema?
Die hinreichende Bedingung für ein Extrema ist y'(x) = 0 und y''(x) ≠ 0.
y''(x) > 0 bedeutet Maxima, y''(x) < 0 Minima und y''(x) = 0 bedeutet kein Extrempunkt. Wenn die erste und die zweite Ableitung null ist, kann definitiv kein Extrema vorliegen! Dort könnte dann eventuell ein Sattelpunkt liegen.
Die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist y''(x) = 0 und y'''(x) ≠ 0.
Wenn y'''(x) = 0, liegt kein Wendepunkt vor, dann ist die Bedingung nämlich nicht erfüllt.
Was haben wir dann, wenn y''(x) = 0 ist?
Das hast du doch selbst beantwortet:
Um Wendepunke herauszufinden muss man zweite Ableitung von y(x) 0 setzen. Also y''(x) = 0
Genauer gesagt, nennt man solche Punkte Terrassenpunkte, es sind Wendepunkte mit waagerechter Tangente: http://www.netalive.org/rationale-funktionen/chapters/2.3.6.html