Wahrscheinlichkeitsverteilungen?
Bei mir kommt bei diesem Beispiel immer das Falsche raus, weil ich nicht weiß, wo ich ansetzen soll. Die Angabe lautet:
In die Teigmasse eines Gugelhupfs werden 50 Rosinen gemischt. In wie viele gleich große Stücke darf man den Gugelhupf höchstens teilen, wenn ein zufällig ausgewähltes Stück mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rosine enthalten soll?
Die Antwort lautet 11.
Vielen Dank im Vorhinein!
3 Antworten
Wir gehen davon aus, dass durch das Vermischen die einzelnen Rosinen unabhängig voneinander gleich über den Teig verteilt sind.
Angenommen, der Teig hätte nur eine Rosine. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, bei einer Teilung in x Teile die Rosine zu erwischen, genau 1/x. Umgekehrt ist die Wahrscheinlichkeit, die Rosine nicht zu erwischen das Gegenereignis (1 - 1/x)
Um "mindestens eine" Rosine zu erhalten, nehmen wir zuerst das Gegenereignis, nämlich keine Rosine zu erhalten. Wir haben schon gerade gesehen, für eine Rosine ist das (1 - 1/x). Für n Rosinen wären es dann (1-1/x)^n. Das liegt daran, dass die einzelnen Rosinen unabhängig verteilt angenommen sind.
Wir wollen nun bei 50 Rosinen mit 99% iger Wahrscheinlichkeit eine finden, d.h. die Wahrscheinlichkeit KEINE zu finden, muss kleiner/gleich 1% sein:
(1 - 1/x)^50 <= 0.01
Aufgelöst ergibt das
x <= 11,36
Auf ganze Stücke gerundet kommen dann genau 11 heraus
Wir nehmen - wie üblich - an, dass die Rosinen in der Teigmasse gleichverteilt sind.
Es spielt hier nur eine Rolle, ob mindestens eine Rosine in einem zufällig ausgewählten Stück vorhanden ist; da die Stücke ununterscheidbar sind, ist es gleichgültig, welches dieser Stücke man wählt. (Man kann die folgende Betrachtung natürlich für alle N Stücke einzeln machen, erhält aber dasselbe Ergebnis.)
Die Anzahl der Rosinen in dem ausgewählten Stück ist binomialverteilt - es gibt für jede Rosine ja nur die Möglichkeit "Rosine ist im ausgewählten Stück" und "Rosine ist nicht im ausgewählten Stück".
Wir nehmen - wie üblich - Gleichverteilung an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine beliebig herausgenommene Rosine im Stück der Größe 1/N ist, ist also p = 1/N.
Bei Fragen wie "mindestens" ist es oft vorteilhaft, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu nehmen. In diesem Fall also das Ereignis "keine Rosine im ausgewählten Stück". In diesem Fall beinhaltet dies sogar nur ein einziges Elementarereignis, nämlich "Anzahl der Rosinen im Stück = 0".
Für R = Anzahl der Rosinen gesamt, N = Anzahl der Stücke gilt damit für die Wahrscheinlichkeit, dass im herausgenommenen Stück keine Rosine ist:
B(R; 1/N; 0) = (R über 0) (1/N)^0 (1 - 1/N)^(R-0) (siehe Formelsammlung)
= 1 * 1 * (1 - 1/N)^R
Im Beispiel wird der Fall betrachtet, dass B(R; 1/N; 0) <= 0,01 (also 1%) ist und R = 50.
Auflösen nach N ergibt (formal)
N <= 11,365036246
(Ob hier <= oder >= stehen muss, kann man durch Betrachtung des Terms für N klarmachen oder durch inhaltliche Überlegungen - bei N = 1 ist die Wahrscheinlichkeit B(R; 1/1; 0) = 0.
Da aber N nach Aufgabenstellung ganzzahlig ist, folgt die Musterlösung.
Geht man vom Ansatz der Bernoulli-Formel aus, kommt man weiter.
P(X=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)
Weitergehend nutzen wir den Ansatz der Gegenwahrscheinlichkeit:
P(X>=k)=1-P(X<k)
Wir tragen die nun bekannten Werte ein:
n=50
k=1
p=1/x (x=gesuchte Anzahl der Kuchenstücke, man nimmt 1/x weil jedes Stück die gleiche W.keit hat)
1-p=1-(1/x)=(x-1)/x
P(X>=k)=0.99
Wir setzen dies nun ein.
0.99>=1-[(50 über 0)*x^0*({x-1}/x)^50]
50 über 0 ist gleich 1, x^0 ist gleich 1, es ergibt sich:
0.99>=1-[(x-1)/x]^50 | -1
-0.01>=-(1-x)^50 | *-1
Durch die Multiplikation mit -1 dreht sich die Ungleichheit.
0.01<=([x-1]/x)^50 | Beide Seiten hoch 1/50
0.912010839<=(x-1)/x | *x
0.912010839x<=x-1 | +1
0.912010839x+1<=x |-0.912010839x
1<=0.087989161x | :0.087989161
x<=11.3650362
Da x maximal 11.3650362 betragen darf, muss auf 11 abgerundet werden.