Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, fairer Einsatz?
Aufgabe: Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel geworfen. Wenn das Produkt X der Augenzahlen mindestens 10 beträgt, erhält man X Cent ausgezahlt, sonst nichts.
a) Wie groß ist der Erwartungswert für den Gewinn bei einem Einsatz von 20 Cent?
b) Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
Hier mein Ansatz für die Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie für den Erwartungswert:
Für mich erscheint dies aber ein bisschen zu lang. Ich bin mir deshalb auch nicht sicher, ob meine Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. meine Ergebnisse sinnvoll ist/sind.
Außerdem bin ich mir bei b) unsicher, da das meinen ersten Ansatz nach sehr viel Schreibarbeit wäre.
Deshalb würde ich gerne hier die Aufgabenstellung reinstellen, und nachfragen, ob jemand hier Fehler entdeckt oder kürzere Lösungen für die Aufgaben a) und b) findet.
Kurz: Ich benötige eine Musterlösung. Danke schon einmal im Voraus :)
3 Antworten
Also das Produkt der Augebzahlen muss über 10 sein ja?
Hmm also hier ist also die Reihenfolge egal
Wir haben
1 und 2 ist 2 das ist dann 2/36 wie alles andere außer
1 und 3 ist 3
1 und 4 ist 4
1 und 5 ist 5
1 und 6 ist 6
1 und 1 ist 1 ist 1/36
2 und 2 ist 4
2 und 3 ist 6
2 und 4 ist 8
2 und 5 ist 10
2 und 6 ist 12
Wenn keine zahl 2 Fach dran kommt ist es immer 2/36
3 und 3 ist 9
3 und 4 ist 12
3 und 5 ist 15
3 und 6 ist 18
4 und 4 ist 16
4 und 5 ust 20
4 und 6 ust 24
5 und 5 sind 25
5 und 6 sind 30
6 und 6 sind 36
Damit haben wir schonmal die cent Beträge.
Alles unter 10 wird wird hierbei dann als 0 gewertet
Für a musste du nun von allem 20 anziehen und dann eben normal berechnen.
Für b würde ich jetzt einfach mit einer Variable rechnen also x und überall eben y (als den Gewinn) minus x (Einsatz). Natürlich auch wenn der Gewinn 0 ist.
Das muss dann eben 0 ergeben sodass das Spiel fair ist.
Zu oben kannst auch gleiche Ergebnisse zusammenfasst wie zum Beispiel 4. Ist eben dann doch logisch.
Ich hoffe mal ich hab mich hier nicht verlesen oder so
Das hört sich dann dich ganz gut an.
Das obere war mir nicht ganz deutlich aber so ist es jetzt doch Sinnig.
Eigentlich sollte das schon so passen. Es ist 22 Uhr da kann mir auch ein Fehler passieren aber eigentlich ist das recht Sinnig
Ich schreibe dass gerade auch während ich unter Schlafentzug leide, weswegen ich gut deinen Standpunkt verstehen kann.
Auf jeden Fall, schonmal danke für deine Hilfe.
Auch wenn es möglicherweise nicht die beste Lösung sein mag, scheint es anscheinend schon richtig zu sein :)
Eine Tabelle ist seltsam. Sie soll wirklich die Verteilung darstellen? Warum dann die negativen Zahlen?
Oder soll sie die Gewinnergebnisse darstellen? Dann hättest du erst mal die Verteilung darstellen müssen 6nd im nächsten Schritt zu Folgerung auf die Gewinne.
Ja, da der Erwartungswert in Bezug zu dem Gewinn berechnet werden soll, habe ich entsprechend die Tabelle mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung dazu angefertigt. Die negativen Zahlen entsprechen also sozusagen dem "negativen Gewinn", also den Verlust. Dabei habe ich das in Cent angegeben.
- hoffe, das klärt deine Frage
Nevermind! Falsch gelesen. :P
Dein Ergebnis stimmt so. Der zu erwartende Gewinn beträgt 9,97222 Cent, das ist dann auch der Einsatz, der das Spiel fair machen würde (in deiner Berechnung also 20-10,03).
Die Wahrscheinlichkeit für 6 und 2 (1/18) und 3 und 4 (auch 1/18) stehen beide für eine Auszahlung von 12 Cent. Daher muss man die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren, und bekommt dann als Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit von 1/9.
Sonst habe ich deinen Ansatz zu 1a) eigentlich 1 zu 1 angewendet, wodurch meine Tabelle dann auch entstanden ist - also scheine ich nicht komplett auf dem Holzweg zu sein.
Mein Ansatz zu b) wäre, das der Einsatz erst einmal als "x" bezeichnet wird. Wenn man nichts bekommt, dann hat man ja einen Verlust bzw. "Gewinn" von -x gemacht.
Um den Gewinn für die restlichen Werte zu bestimmen, subtrahiert man einfach x von der Auszahlung (also zB. 10-x ). Dies habe ich für alle Werte, die die Auszahlung machen kann, gemacht (also 25 - x , 36 - x ). Dies sind dann die k's (also xi).
Dann hätte ich das in die Formel des Erwartungswertes eingesetzt. Da wir ja wissen, dass, wenn das Spiel fair ist, der Erwaartungswert 0 beträgt, setzen wir das ganze dann gleich 0, wie du schon gesagt hast. Also: 0 = -x * 17/36 + (10 - x) * 1/18 + usw.
Der Term wird dann ziemlich lang. Aber sollte dann letztendlich richtig sein, oder?