Wahrscheinlichkeitsverteilung - Zufallsvariable?
Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X kann nur die Werte 10, 20 und 30 annehmen. Unten ist eine Tabelle, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X angibt, wobei a und b positive reelle Zahlen sind.
k 10 20 30
P(X=k) a b a
Welche beiden Aussagen stimmen?
- Der Erwartungswert von X ist 20-
- Die Standardabweichung von X ist 20.
- a+b=1
- P(10 ≤ X ≤ 30) = 1
- P(X ≤ 10) = P(X ≥ 10)
Bitte um Erklärung! Vielen Dank!
1 Antwort
1.
E(X) = 10 P(X=10) + 20 P(X=20) + 30 P(X=30)
E(X) = 10 a + 20 b + 30 a
E(X) = 40 a + 20 b
E(X) = 20 (2 a) + 20 b
Wegen a + b + a = 1 bzw. 2 a = 1 – b muss
E(X) = 20 (1 – b) + 20 b
E(X) = 20
sein. Also ist E(X) = 20 korrekt.
2.
Die Varianz ist
Var(X) = (10 – E(X))² P(X=10) + (20 – E(X))² P(X=20) + (30 – E(X))² P(X=30)
Var(X) = (10 – 20)² a + (20 – 20)² b + (30 – 20)² a
Var(X) = 100 a + 0 b + 100 a
Var(X) = 200 a.
also ist die Standardabweichung
σ(X) = 10 √(2 a).
Das wäre nur 20, wenn a = 2, aber da a eine Wahrscheinlichkeit ist, muss stets a ≤ 1 sein. Also kann es nicht sein.
3.
Wir wissen, dass 2 a + b = 1. Wäre also a + b = 1, müsste 2 a + b = a + 1 sein. a + 1 = 1 geht nur, wenn a = 0. Da nach der der Aufgabe a eine positive Zahl ist, muss a > 0 sein, was ein Widerspruch ist. Also ist auch diese Aussage falsch.
4.
P(10 ≤ X ≤ 30) = P(X = 10) + P(X=20) + P(X=30) = a + b + a = 1.
Die Aussage ist korrekt (X kann alle definierten Werte annhemen, also ist es das sichere Ereignis).
5.
P(X ≤ 10) = P(X = 10) = a
Aber
P(X ≥ 10) = P(X=10) + P(X=20) + P(X=30)
P(X ≥ 10) = a + b + a = 2 a + b
Wäre nun P(X ≥ 10) = P(X ≤ 10), also
a = 2 a + b,
dann käme man auf a + b = 0. Das ist wegen a, b > 0 (siehe Aufgabe) nicht möglich. Also ist diese Aufgabe falsch.