Frage von roromoloko, 103

Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Stein in die Höhe springt?

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Stein der Masse m = 2 kg und der Temperatur 50 °C von selbst abkühlt und dann um 5 cm in die Höhe springt. Seine spezifische Wärmekapazität sei c = 0,8 kJ/ kg* K

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Ahzmandius, 34

Wenn ich mich an meine Experimentalphysik Vorlesung richtig erinnere, so war die Wahrscheinlichkeit dafür keines Wegs 0.

Auf die schnelle glaube ich, dass hier die Antwort gegeben wird.

http://www.wer-weiss-was.de/t/huepfende-abgekuehlte-steine/3502713/7
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Ps.: Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das nur eine mathematische Spiellerei war, oder ob ein Stein tatsächlich hochspringen könnten.
Pp

Kommentar von Ahzmandius ,

Danke für den Stern. Konntest du die Rechnung nachvollziehen?

Ps: Da ist ein kleiner Fehler in seiner Rechnung. Er sagt an einer Stelle dT=1,2k, das ist nicht richtig, es sind 1,2mK. 

Antwort
von dompfeifer, 62

Ereignis A: Dass sich der Stein "von selbst abkühlt" bei einer Umgebungstemperatur unter 50°C, ist sicher. Hier ist also die Wahrscheinlichkeit für A=1. Aber danach ist nicht gefragt, das können wir völlig vernachlässigen. Die Lösung der Aufgabe ist viel kürzer:

Ereignis B: Der Stein springt ohne äußere Einwirkung hoch. B=0.

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A und B = 0. Das folgt aus B=0.

Kommentar von roromoloko ,

Ach haha so einfach :D

Kommentar von dompfeifer ,

Ich vermute, hier sollen die Schüler an der Nase herumgeführt werden mit sinnlosen physikalischen Angaben. Und warum sollte dem 2-kg-Stein mit gegebener Wärmekapazität auch das Temperament derart durchgehen, dass er 5 cm hoch springt?

Kommentar von Franz1957 ,

Manche Leute wollen damit die Rechenmethoden der statistischen Thermodynamik vorführen und kommen kommen auf diesem Weg zu Resultaten, die z.B. 10^(-10^20), und damit nur "praktisch Null" sind. Daß sie dazu das Impulserhaltungsprinzip außer Kraft setzen müssen, merken sie gar nicht. Typischer Fall von Tunnelblick.

http://www.wer-weiss-was.de/t/huepfende-abgekuehlte-steine/3502713/5

http://einrichtungen.ph.tum.de/antares/uebungen/lsg15/lsg15b.htm

Kommentar von WeicheBirne ,

Daß sie dazu das Impulserhaltungsprinzip außer Kraft setzen müssen, merken sie gar nicht. Typischer Fall von Tunnelblick.

Auf der Quantenebene ist der Impuls keine Erhaltungsgröße. Allerdings bleibt der Erwartungswert des Impulses erhalten. Das folgt aus dem Ehrenfest Theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem

Da der Gesamtimpuls eines makroskopischen Objekts quasi immer sehr nahe am Erwartungswert liegt, scheint der Impuls eines makroskopischen Objekts erhalten zu sein. Daher leitet sich der klassische Impulserhaltungssatz ab.

Mit einer extrem geringen Wahrscheinlichkeit wird auch ein makroskopischer Körper eine drastische Impulsänderungen erfahren. Das ist allerdings extrem unwahrscheinlich weswegen die Anwendung des klassischen Inpulserhaltungssatzes ja auch ok ist.

Die Rechnung für die Wahrscheinlichkeit, mit der der Stein in die Luft springt, ist völlig in Ordnung. Denk einfach daran, daß der Stein aus vielen Quantenteilchen besteht.

Kommentar von Franz1957 ,

Danke, das ist ein überzeugender Einwand. Die Darstellungen, die ich kritisiere, macht er allerdings nicht besser. Sie müßten dann schon explizit quantenmechanisch argumentieren und nicht so tun, als gäbe die Statistik das Ergebnis von alleine her.
Auch die Energie ist ja auf der Quantenebene keine Erhaltungsgröße. Hier aber muß die kinetische Energie für den Sprung ganz klassisch durch eine Abkühlung des Steines kompensiert werden!

Kommentar von WeicheBirne ,

Stimmt, Energie ist auch keine Erhaltungsgröße. Allerdings ist für das Springen des Steins bei 50°C vor allem die koordinierte Bewegung(srichtung) seiner Atome entscheidend und nicht sein exakter Energiegehalt. Wenn die Atome unkoordinierte Impulse besitzen während sie durch eine Energiefluktuation Energie gewinnen wird der Stein sich nur aufheizen ohne sich zu bewegen.

Du kannst natürlich eine Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, daß die Atome koordinierte Impulse besitzen und gleichzeitig Energie gewinnen. 

In erster Näherung könntest Du die Wahrscheinlichkeit für koordinierte Impulse als unabhängig von der Wahrscheinlichkeit für mehr Energie betrachten. 

Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einfach ein Produkt der Einzelwahrschenlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für koordinierte Impulse wurde in den geposteten Links ja schon mit 10^(-10^20) grob abgeschätzt. Die Wahrscheinlichkeit p für mehr Energie wäre ebenfalls verschwindend gering. 

Die Gesamtwahrscheinlichkeit p*10^(-10^20) dafür, daß die Atome koordinierte Impulse und mehr Energie besitzen, ist also viel kleiner als die Wahrscheinlichkeit, daß die Atome einfach nur koordinierte Impulse besitzen.

Daher kannst Du diesen speziellen Fall der Gleichzeitigkeit außer Acht lassen und einfach davon ausgehen, daß der Stein seine "Hubenergie" durch Abkühlung gewinnt.

Kommentar von Ahzmandius ,

Wenn ich mich an meine Experimentalphysik Vorlesung richtig erinnere, so war die Wahrscheinlichkeit dafür keines Wegs 0.

Auf die schnelle glaube ich, dass hier die Antwort gegeben wird.

http://www.wer-weiss-was.de/t/huepfende-abgekuehlte-steine/3502713/7

Kommentar von Franz1957 ,

Ja, da hast Du dasselbe Beispiel wie ich gefunden, wo man Fachleuten zuschauen kann, wie sie vom Boden abheben... :)

Kommentar von dompfeifer ,

Pardon, ich sehe gerade, dass ich hier etwas unsauber gearbeitet habe. Wir sollten hier die Ereignisse A und B formulieren und z.B. die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis A als W(A) und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B als W(B) bezeichnen. Dann gilt:

W(B) = 0. Aus W(B) = 0 folgt (W(A) und W(B)) = 0.

Kommentar von dompfeifer ,

Pardon, richtig sauber sollte das heißen:

Aus W(B) = 0 folgt W(A und B) = 0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines sicheren oder eines beliebigen Ereignisses und das Eintreten eines unmöglichen Ereignisses ist immer gleich null. Deshalb müssen wir uns hier mit der Wahrscheinlichkeit von A  (Abkühlung des Steines) gar nicht befassen. Den Einwand von Franz1957 habe ich hier nicht berücksichtigt.

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