Vorteil der hesseschen Normalengleichung?
Was ist der Unterschied zwischen der Normalengleichung und der hesseschen Normalengleichung? Also vorhin liegt der Vorteil der hesseschen Normalengleichung? Wieso sollte man sie verwenden?
1 Antwort
Die Hessesche Normalform entfaltet ihren Vorteil, wenn es darum geht, den Abstand eines Punktes von der Ebene zu bestimmen: Man setzt den Ortsvektor des Punktes in die HNF ein und erhält sogleich den Abstand.
Nachtrag:
Der Abstand hat ein Vorzeichen, das anzeigt, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Ein positives Vorzeichen gibt an, dass der Punkt auf jener Seite der Geraden liegt, auf die der Normalenvektor zeigt.
Auch in die "normale" Normalengleichung kann man den Ortsvektor eines beliebigen Punktes einsetzen und liest am ergebnis ab, ob der Punkt jin der Ebene liegt: Der Wert 0 sagt, dass der Punkt in der Ebene liegt, ein von 0 verschiedener Wert sagt, dass dies nicht der Fall ist. Der erhaltene Wert ist aber nicht der Abstand des Punktes von der Ebene
Negatives Vorzeichen bedeutet, dass der Punkt nicht in jenem Halbraum liegt, in den der Normalenbektor der HNF zeigt, sondern in dem Halbraum auf der anderen Seite der Ebene. Man sagt auch - allerdings etwas ungenau - dass bei negativem Vorzeichen der eingesetzte Punkt und der Normalenvektor der HNF auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.
Zum Begriff des Halbraums: Eine Ebene im Raum zerlegt den Raum in zwei Halbräume,die keinen gemeinsamen Punkt haben. Man kann diese Halbräume als den Raum über der Ebene und den Raum unter der Ebene verstehen. Der Halbraum über der Ebene ist jener, in den der Normalenvektor zeigt.
Und wie ist das bei der „normalen“ Normalengleichung?